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Fonction logarithme népérien

Résoudre les équations - Exercice 4

12 min
30
Résoudre les équations suivantes :
Question 1

ln⁡(2x−8)=ln⁡(x+2)\ln \left(2x-8\right)=\ln \left(x+2\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si :
{2x−8>0 et x+2>0⇔{2x>8 et x>−2⇔{x>82 et x>−2⇔{x>4 et x>−2\left\{\begin{array}{c} {2x-8>0} \\ {\text{ et }} \\ {x+2>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2x>8} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{8}{2}} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>4} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
Df=]4;+∞[D_{f} =\left]4;+\infty\right[

Ici  l′eˊquation  est  deˊfinie  si  et  seulement  x∈]4;+∞[\color{red}Ici\;l'équation\;est\;définie\;si\;et\;seulement\;x\in \left]4;+\infty \right[
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡(2x−8)=ln⁡(x+2)\ln \left(2x-8\right)=\ln \left(x+2\right) équivaut successivement à :
    2x−8=x+22x-8=x+2 car ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
    2x−x=2+82x-x=2+8
    x=10x=10
    Or 10∈]4;+∞[10\in \left]4;+\infty \right[, donc la solution de l'équation ln⁡(2x−8)=ln⁡(x+2)\ln \left(2x-8\right)=\ln \left(x+2\right) est :
    S={10}S=\left\{10 \right\}
    Question 2

    ln⁡(3x−18)=ln⁡(2x−10)\ln \left(3x-18\right)=\ln \left(2x-10\right)

    Correction
    La fonction ff est définie si et seulement si :
    {3x−18>0 et 2x−10>0⇔{3x>18 et 2x>10⇔{x>183 et x>102⇔{x>6 et x>5\left\{\begin{array}{c} {3x-18>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x-10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {3x>18} \\ {\text{ et }} \\ {2x>10} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{18}{3}} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{10}{2}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>6} \\ {\text{ et }} \\ {x>5} \end{array}\right.
    On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
    Df=]6;+∞[D_{f} =\left]6;+\infty\right[

    Ici  l′eˊquation  est  deˊfinie  si  et  seulement  x∈]6;+∞[\color{red}Ici\;l'équation\;est\;définie\;si\;et\;seulement\;x\in \left]6;+\infty \right[
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡(3x−18)=ln⁡(2x−10)\ln \left(3x-18\right)=\ln \left(2x-10\right) équivaut successivement à :
    3x−18=2x−103x-18=2x-10 car ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
    3x−2x=−10+183x-2x=-10+18
    x=8x=8
    Or 8∈]6;+∞[8\in \left]6;+\infty \right[, donc la solution de l'équation ln⁡(3x−18)=ln⁡(2x−10)\ln \left(3x-18\right)=\ln \left(2x-10\right) est :
    S={8}S=\left\{8 \right\}