Fonction logarithme népérien

Résoudre les équations - Exercice 3

10 min
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Soit (E)\left(E\right) l'équation : ln⁡(2x−2)=6\ln \left(2x-2\right)=6
Question 1

Justifier que l'équation est définie si et seulement x∈]1;+∞[x\in \left]1;+\infty \right[

Correction
  • Les fonctions de la forme f(x)=ln⁡(u(x))f\left(x\right)=\ln \left(\purple{u\left(x\right)}\right) sont deˊfinies\red{\text{définies}} si et seulement u(x)>0\purple{u\left(x\right)>0}
    • La fonction ff est deˊfinie\red{\text{définie}} si et seulement si :
    2x−2>02x-2>0 équivaut successivement à :
    2x>22x>2
    x>22x>\frac{2}{2}
    x>1x>1
    Ainsi le domaine de définition est :
    Df=]1;+∞[D_{f} =\left]1;+\infty \right[

    Question 2

    Résoudre l'équation (E)\left(E\right) .

    Correction
  • ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    • ln⁡(2x−2)=6\ln \left(2x-2\right)=6 équivaut successivement à :
    ln⁡(2x−2)=ln⁡(e6)\ln (2x-2)=\ln \left(e^{6} \right) car ln⁡(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    2x−2=e62x-2=e^{6}
    2x=e6+22x=e^{6}+2
    x=e6+22x=\frac{e^{6}+2}{2}
    x=e62+1x=\frac{e^{6}}{2}+1
    Or e62+1∈]0;+∞[\frac{e^{6}}{2}+1 \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e62+1}S=\left\{\frac{e^{6}}{2}+1 \right\}