Résoudre les équations

$\ln x=6$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{6} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{6}$
Or $e^{6} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\ln x=4$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{4} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{4}$
Or $e^{4} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\ln x=-1$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{-1} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{-1}$
Or $e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\ln x=7$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{7} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{7}$
Or $e^{7} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$2\ln x+4=0$ équivaut successivement à :
$2\ln x=-4$
$\ln x=\frac{-4}{2}$
$\ln x=-2$
$\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{-2}$
Or $e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$6\ln x-18=0$ équivaut successivement à :
$6\ln x=18$
$\ln x=\frac{18}{6}$
$\ln x=3$
$\ln x=\ln \left(e^{3} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{3}$
Or $e^{3} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\ln x=1$ équivaut successivement à :
$\ln x=\ln \left(e^{1} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$x=e^{1}$
Or $e^{1} \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\left(x-1\right)\left(\ln \left(x\right)+2\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $x-1=0$ $\red{\text{ou}}$ $\ln \left(x\right)+2=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$x-1=0$
$x=1$
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$\ln \left(x\right)+2=0$
$\ln \left(x\right)=-2$
$\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{-2}$ . Or $e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[$
Les solutions de l'équation $\left(x-1\right)\left(\ln \left(x\right)+2\right)=0$ sont :

$\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $2x+6=0$ $\red{\text{ou}}$ $\ln \left(x\right)-8=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$2x+6=0$
$2x=-6$
$x=-3$ $\;$Or$\;\;\;$ $-3 \notin \left]0;+\infty \right[$
Donc $x=-3$ n'est pas une solution de l'équation $\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0.$
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$\ln \left(x\right)-8=0$
$\ln \left(x\right)=8$
$\ln x=\ln \left(e^{8} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{8}$ . Or $e^{8} \in \left]0;+\infty \right[$
La solution de l'équation $\left(2x+6\right)\left(\ln \left(x\right)-8\right)=0$ est :

$\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $10x+5=0$ $\red{\text{ou}}$ $\ln \left(x\right)-5=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$10x+5=0$
$10x=-5$
$x=-\frac{1}{2}$ Or$\;\;\;$ $-\frac{1}{2} \notin \left]0;+\infty \right[$
Donc $x=-\frac{1}{2}$ n'est pas une solution de l'équation $\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0.$
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$\ln \left(x\right)-5=0$
$\ln \left(x\right)=5$
$\ln x=\ln \left(e^{5} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{5}$ . Or $e^{5} \in \left]0;+\infty \right[$
La solution de l'équation $\left(10x+5\right)\left(\ln \left(x\right)-5\right)=0$ est :

$2x+3x\ln \left(x\right)=0$ $\;\;$ $\color{red}Ici\;il\;faut\;dans\;un\;premier\;temps\;pense\;à\;factoriser.$
$2x+3x\ln \left(x\right)=x(2+3\ln{(x)})$
$x(2+3\ln{(x)})=0$ . Il s'agit d'une équation produit nul .
On a donc : $x=0$ $\red{\text{ou}}$ $2+3\ln \left(x\right)=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$x=0$ $\;\;\;\;\;$Or $0 \notin \left]0;+\infty \right[,$ donc $0$ n'est pas solution de l'équation $2x+3x\ln \left(x\right)=0$ .
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$2+3\ln \left(x\right)=0$
$3\ln \left(x\right)=-2$
$\ln{(x)}=-\frac{2}{3}$
$\ln x=\ln \left(e^{-\frac{2}{3}} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{-\frac{2}{3}}$ . Or $e^{-\frac{2}{3}} \in \left]0;+\infty \right[$
La solution de l'équation $2x+3x\ln \left(x\right)=0$ est :

$\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$ $\;\;$ $\color{red}Ici\;il\;faut\;dans\;un\;premier\;temps\;pense\;à\;factoriser.$
$\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=\ln(x)(\ln{(x)}-6)$
On a donc : $\ln{(x)}=0$ $\red{\text{ou}}$ $\ln{(x)}-6=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$\ln \left(x\right)=0$
$\ln x=\ln \left(e^{0} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{0}=1$ . Or $1 \in \left]0;+\infty \right[$
Donc $x=1$ est une solution de l'équation $\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$.
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$\ln \left(x\right)-6=0$
$\ln \left(x\right)=6$
$\ln x=\ln \left(e^{6} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{6}$ . Or $e^{6} \in \left]0;+\infty \right[$
Les solutions de l'équation $\ln ^{2} \left(x\right)-6\ln \left(x\right)=0$ sont :

$\ln ^{2} \left(x\right)-9=0$ $\;\;$ $\color{red}Ici\;il\;faut\;dans\;un\;premier\;temps\;pense\;à\;factoriser.$
$\ln ^{2} \left(x\right)-9=(\ln(x)+3)(\ln(x)-3)$
On a donc : $\ln{(x)}-3=0$ $\red{\text{ou}}$ $\ln{(x)}+3=0=0$
$\text{\blue{D'une part :}}$
$\ln \left(x\right)-3=0$
$\ln \left(x\right)=3$
$\ln x=\ln \left(e^{3} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{3}$ . Or $e^{3} \in \left]0;+\infty \right[$
$\text{\blue{D'autre part :}}$
$\ln \left(x\right)+3=0$
$\ln \left(x\right)=-3$
$\ln x=\ln \left(e^{-3} \right)$ car $\red{\ln \left(e^{a} \right)=a}$
$x=e^{-3}$ . Or $e^{-3} \in \left]0;+\infty \right[$
Les solutions de l'équation $\ln ^{2} \left(x\right)-9=0$ sont :

La fonction $f$ est $\red{\text{définie}}$ si et seulement si :
$2x-2>0$ équivaut successivement à :
$2x>2$
$x>\frac{2}{2}$
$x>1$
Ainsi le domaine de définition est :

$\ln \left(2x-2\right)=6$ équivaut successivement à :
$\ln (2x-2)=\ln \left(e^{6} \right)$ car $\ln \left(e^{a} \right)=a$
$2x-2=e^{6}$
$2x=e^{6}+2$
$x=\frac{e^{6}+2}{2}$
$x=\frac{e^{6}}{2}+1$
Or $\frac{e^{6}}{2}+1 \in \left]0;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation est :

$\underline{\color{black}Il\;faut\;ici\;dans\;un\;premier\;temps\;déterminer\;sur\;quel\;intervalle\;l'équation\;est\;définie\;:}$
La fonction $f$ est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {2x-8>0} \\ {\text{ et }} \\ {x+2>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {2x>8} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{8}{2}} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>4} \\ {\text{ et }} \\ {x>-2} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$\color{red}Ici\;l'équation\;est\;définie\;si\;et\;seulement\;x\in \left]4;+\infty \right[$
$\ln \left(2x-8\right)=\ln \left(x+2\right)$ équivaut successivement à :
$2x-8=x+2$ car $\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B$
$2x-x=2+8$
$x=10$
Or $10\in \left]4;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation $\ln \left(2x-8\right)=\ln \left(x+2\right)$ est :

$\underline{\color{black}Il\;faut\;ici\;dans\;un\;premier\;temps\;déterminer\;sur\;quel\;intervalle\;l'équation\;est\;définie\;:}$
La fonction $f$ est définie si et seulement si $\left\{\begin{array}{c} {3x-18>0} \\ {\text{ et }} \\ {2x-10>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {3x>18} \\ {\text{ et }} \\ {2x>10} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>\frac{18}{3}} \\ {\text{ et }} \\ {x>\frac{10}{2}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>6} \\ {\text{ et }} \\ {x>5} \end{array}\right.$
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
$\color{red}Ici\;l'équation\;est\;définie\;si\;et\;seulement\;x\in \left]6;+\infty \right[$
$\ln \left(3x-18\right)=\ln \left(2x-10\right)$ équivaut successivement à :
$3x-18=2x-10$ car $\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B$
$3x-2x=-10+18$
$x=8$
Or $8\in \left]6;+\infty \right[$, donc la solution de l'équation $\ln \left(3x-18\right)=\ln \left(2x-10\right)$ est :