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Résoudre les équations - Exercice 1
10 min
20
Résoudre dans
]
0
;
+
∞
[
\left]0;+\infty\right[
]
0
;
+
∞
[
les équations suivantes :
Question 1
ln
x
=
6
\ln x=6
ln
x
=
6
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
ln
x
=
6
\ln x=6
ln
x
=
6
équivaut successivement à :
ln
x
=
ln
(
e
6
)
\ln x=\ln \left(e^{6} \right)
ln
x
=
ln
(
e
6
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
6
x=e^{6}
x
=
e
6
Or
e
6
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{6} \in \left]0;+\infty \right[
e
6
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
6
}
S=\left\{e^{6} \right\}
S
=
{
e
6
}
Question 2
ln
x
=
4
\ln x=4
ln
x
=
4
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
ln
x
=
4
\ln x=4
ln
x
=
4
équivaut successivement à :
ln
x
=
ln
(
e
4
)
\ln x=\ln \left(e^{4} \right)
ln
x
=
ln
(
e
4
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
4
x=e^{4}
x
=
e
4
Or
e
4
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{4} \in \left]0;+\infty \right[
e
4
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
4
}
S=\left\{e^{4} \right\}
S
=
{
e
4
}
Question 3
ln
x
=
−
1
\ln x=-1
ln
x
=
−
1
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
ln
x
=
−
1
\ln x=-1
ln
x
=
−
1
équivaut successivement à :
ln
x
=
ln
(
e
−
1
)
\ln x=\ln \left(e^{-1} \right)
ln
x
=
ln
(
e
−
1
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
−
1
x=e^{-1}
x
=
e
−
1
Or
e
−
1
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{-1} \in \left]0;+\infty \right[
e
−
1
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
−
1
}
S=\left\{e^{-1} \right\}
S
=
{
e
−
1
}
Question 4
ln
x
=
7
\ln x=7
ln
x
=
7
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
ln
x
=
7
\ln x=7
ln
x
=
7
équivaut successivement à :
ln
x
=
ln
(
e
7
)
\ln x=\ln \left(e^{7} \right)
ln
x
=
ln
(
e
7
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
7
x=e^{7}
x
=
e
7
Or
e
7
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{7} \in \left]0;+\infty \right[
e
7
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
7
}
S=\left\{e^{7} \right\}
S
=
{
e
7
}
Question 5
2
ln
x
+
4
=
0
2\ln x+4=0
2
ln
x
+
4
=
0
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
2
ln
x
+
4
=
0
2\ln x+4=0
2
ln
x
+
4
=
0
équivaut successivement à :
2
ln
x
=
−
4
2\ln x=-4
2
ln
x
=
−
4
ln
x
=
−
4
2
\ln x=\frac{-4}{2}
ln
x
=
2
−
4
ln
x
=
−
2
\ln x=-2
ln
x
=
−
2
ln
x
=
ln
(
e
−
2
)
\ln x=\ln \left(e^{-2} \right)
ln
x
=
ln
(
e
−
2
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
−
2
x=e^{-2}
x
=
e
−
2
Or
e
−
2
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{-2} \in \left]0;+\infty \right[
e
−
2
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
−
2
}
S=\left\{e^{-2} \right\}
S
=
{
e
−
2
}
Question 6
6
ln
x
−
18
=
0
6\ln x-18=0
6
ln
x
−
18
=
0
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
6
ln
x
−
18
=
0
6\ln x-18=0
6
ln
x
−
18
=
0
équivaut successivement à :
6
ln
x
=
18
6\ln x=18
6
ln
x
=
18
ln
x
=
18
6
\ln x=\frac{18}{6}
ln
x
=
6
18
ln
x
=
3
\ln x=3
ln
x
=
3
ln
x
=
ln
(
e
3
)
\ln x=\ln \left(e^{3} \right)
ln
x
=
ln
(
e
3
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
3
x=e^{3}
x
=
e
3
Or
e
3
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{3} \in \left]0;+\infty \right[
e
3
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
3
}
S=\left\{e^{3} \right\}
S
=
{
e
3
}
Question 7
ln
x
=
1
\ln x=1
ln
x
=
1
Correction
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ln
(
A
)
=
ln
(
B
)
⇔
A
=
B
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
ln
x
=
1
\ln x=1
ln
x
=
1
équivaut successivement à :
ln
x
=
ln
(
e
1
)
\ln x=\ln \left(e^{1} \right)
ln
x
=
ln
(
e
1
)
car
ln
(
e
a
)
=
a
\ln \left(e^{a} \right)=a
ln
(
e
a
)
=
a
x
=
e
1
x=e^{1}
x
=
e
1
Or
e
1
∈
]
0
;
+
∞
[
e^{1} \in \left]0;+\infty \right[
e
1
∈
]
0
;
+
∞
[
, donc la solution de l'équation est :
S
=
{
e
1
}
S=\left\{e^{1} \right\}
S
=
{
e
1
}