Propriétés algébriques du logarithme népérien - Exercice 2

10 min
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Exprimer en fonction de ln⁡(3)\ln \left(3\right) chacun des nombres suivants :
Question 1

ln⁡(9)\ln \left(9\right)

Correction
    Soient aa un réel strictement positif et nn un entier.
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
ln⁡(9)=ln⁡(32)\ln \left(9\right)=\ln \left(3^{2} \right)
Ainsi :
ln⁡(9)=2ln⁡(3)\ln \left(9\right)=2\ln \left(3\right)

Question 2

4ln⁡(27)4\ln \left(27\right)

Correction
    Soient aa un réel strictement positif et nn un entier.
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
4ln⁡(27)=4ln⁡(33)4\ln \left(27\right)=4\ln \left(3^{3} \right)
4ln⁡(27)=4×3ln⁡(3)4\ln \left(27\right)=4\times3\ln \left(3 \right)
Ainsi :
4ln⁡(27)=12ln⁡(3)4\ln \left(27\right)=12\ln \left(3 \right)

Question 3

ln⁡(81e)\ln \left(81e\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(e)=1\ln \left(e\right)=1
ln⁡(81e)=ln⁡(81)+ln⁡(e)\ln \left(81e\right)=\ln \left(81\right)+\ln \left(e\right)
ln⁡(81e)=ln⁡(34)+1\ln \left(81e\right)=\ln \left(3^{4} \right)+1
AInsi :
ln⁡(81e)=4ln⁡(3)+1\ln \left(81e\right)=4\ln \left(3\right)+1

Question 4

ln⁡(27)\ln \left(\sqrt{27} \right)

Correction
    Soit aa un réel strictement positif.
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
ln⁡(27)=12ln⁡(27)\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(27\right)
ln⁡(27)=12ln⁡(33)\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \ln \left(3^{3} \right)
ln⁡(27)=12×3×ln⁡(3)\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{1}{2} \times 3\times \ln \left(3\right)
Ainsi :
ln⁡(27)=32ln⁡(3)\ln \left(\sqrt{27} \right)=\frac{3}{2} \ln \left(3\right)

Question 5

ln⁡(12)−ln⁡(4)+3ln⁡(3)\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
ln⁡(12)−ln⁡(4)+3ln⁡(3)=ln⁡(124)+3ln⁡(3)\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=\ln \left(\frac{12}{4} \right)+3\ln \left(3\right)
ln⁡(12)−ln⁡(4)+3ln⁡(3)=ln⁡(3)+3ln⁡(3)\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=\ln \left(3\right)+3\ln \left(3\right)
Ainsi :
ln⁡(12)−ln⁡(4)+3ln⁡(3)=4ln⁡(3)\ln \left(12\right)-\ln \left(4\right)+3\ln \left(3\right)=4\ln \left(3\right)

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