Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques du logarithme - Exercice 1

25 min
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Simplifier les expressions suivantes :
Question 1

A=ln⁡(3)+ln⁡(2)A=\ln \left(3\right)+\ln \left(2\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
A=ln⁡(3)+ln⁡(2)A=\ln \left(3\right)+\ln \left(2\right) équivaut successivement à :
A=ln⁡(3×2)A=\ln \left(3\times2\right)
Ainsi :
A=ln⁡(6)A=\ln \left(6\right)
Question 2

B=ln⁡(7)−ln⁡(3)B=\ln \left(7\right)-\ln \left(3\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
B=ln⁡(7)−ln⁡(3)B=\ln \left(7\right)-\ln \left(3\right) équivaut successivement à :
B=ln⁡(73)B=\ln \left(\frac{7}{3} \right)
Question 3

C=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
C=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right) équivaut successivement à :
C=ln⁡(23)+ln⁡(32)−ln⁡(9)C=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)
C=ln⁡(8)+ln⁡(9)−ln⁡(3)C=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(8×9)−ln⁡(3)C=\ln \left(8\times9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(72)−ln⁡(3)C=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)
C=ln⁡(723)C=\ln \left(\frac{72}{3} \right)
C=ln⁡(24)C=\ln \left(24\right)
Question 4

D=eln⁡5−eln⁡7D=e^{\ln 5} -e^{\ln 7}

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
D=eln⁡5−eln⁡7D=e^{\ln 5} -e^{\ln 7}
D=5−7 D=5-7
Ainsi :
D=−2D=-2
Question 5

F=e2+ln⁡(4)eln⁡2F=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
Ici on utilise également les règles sur les exponentielles ea+b=ea×ebe^{a+b} =e^{a} \times e^{b}
F=e2+ln⁡(4)eln⁡2F=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} } équivaut successivement à :
F=e2×eln⁡(4)2F=\frac{e^{2} \times e^{\ln \left(4\right)} }{2}
F=e2×42 F=\frac{e^{2} \times 4}{2}
F=2e2F=2e^{2}
Question 6

G=eln⁡(x+2)eln⁡(x)G=e^{\ln \left(x+2\right)} e^{\ln \left(x\right)}

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
G=eln⁡(x+2)eln⁡(x)G=e^{\ln \left(x+2\right)} e^{\ln \left(x\right)} équivaut successivement à :
G=(x+2)×(x)G=\left(x+2\right)\times \left(x\right)
G=x2+2xG=x^{2} +2x
Question 7

H=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)H=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln⁡(1a)=−ln⁡(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln⁡(an)=nln⁡(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln⁡(a)=ln⁡(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • eln⁡a=ae^{\ln a} =a
H=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)H=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right) équivaut successivement à
H=ln⁡((3−5)×(3+5))H=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right) .
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable : (a−b)×(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\times \left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}
H=ln⁡(32−(5)2)H=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)
H=ln⁡(9−5)H=\ln \left(9-5\right)
H=ln⁡(4)H=\ln \left(4\right)