Fonction logarithme népérien

Propriétés algébriques du logarithme - Exercice 1

25 min
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Simplifier les expressions suivantes :
Question 1

A=ln(3)+ln(2)A=\ln \left(3\right)+\ln \left(2\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
A=ln(3)+ln(2)A=\ln \left(3\right)+\ln \left(2\right) équivaut successivement à :
A=ln(3×2)A=\ln \left(3\times2\right)
Ainsi :
A=ln(6)A=\ln \left(6\right)
Question 2

B=ln(7)ln(3)B=\ln \left(7\right)-\ln \left(3\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
B=ln(7)ln(3)B=\ln \left(7\right)-\ln \left(3\right) équivaut successivement à :
B=ln(73)B=\ln \left(\frac{7}{3} \right)
Question 3

C=3ln(2)+2ln(3)12ln(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
C=3ln(2)+2ln(3)12ln(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right) équivaut successivement à :
C=ln(23)+ln(32)ln(9)C=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)
C=ln(8)+ln(9)ln(3)C=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln(8×9)ln(3)C=\ln \left(8\times9\right)-\ln \left(3\right)
C=ln(72)ln(3)C=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)
C=ln(723)C=\ln \left(\frac{72}{3} \right)
C=ln(24)C=\ln \left(24\right)
Question 4

D=eln5eln7D=e^{\ln 5} -e^{\ln 7}

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
D=eln5eln7D=e^{\ln 5} -e^{\ln 7}
D=57 D=5-7
Ainsi :
D=2D=-2
Question 5

F=e2+ln(4)eln2F=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} }

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
Ici on utilise également les règles sur les exponentielles ea+b=ea×ebe^{a+b} =e^{a} \times e^{b}
F=e2+ln(4)eln2F=\frac{e^{2+\ln \left(4\right)} }{e^{\ln 2} } équivaut successivement à :
F=e2×eln(4)2F=\frac{e^{2} \times e^{\ln \left(4\right)} }{2}
F=e2×42 F=\frac{e^{2} \times 4}{2}
F=2e2F=2e^{2}
Question 6

G=eln(x+2)eln(x)G=e^{\ln \left(x+2\right)} e^{\ln \left(x\right)}

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
G=eln(x+2)eln(x)G=e^{\ln \left(x+2\right)} e^{\ln \left(x\right)} équivaut successivement à :
G=(x+2)×(x)G=\left(x+2\right)\times \left(x\right)
G=x2+2xG=x^{2} +2x
Question 7

H=ln(35)+ln(3+5)H=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

Correction
    Soient aa et bb deux réels strictement positifs.
  • ln(a)+ln(b)=ln(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)
  • ln(a)ln(b)=ln(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
  • ln(1a)=ln(a)\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)
  • ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)
  • 12ln(a)=ln(a)\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)
  • elna=ae^{\ln a} =a
H=ln(35)+ln(3+5)H=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right) équivaut successivement à
H=ln((35)×(3+5))H=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right) .
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable : (ab)×(ab)=a2b2\left(a-b\right)\times \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}
H=ln(32(5)2)H=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)
H=ln(95)H=\ln \left(9-5\right)
H=ln(4)H=\ln \left(4\right)