Fonction logarithme népérien

Les limites avec la fonction x↦ln⁡(u(x))x\mapsto \ln \left(u\left(x\right)\right) - Exercice 1

15 min
30
Question 1
Déterminer les limites suivantes :

lim⁡x→+∞ln⁡(2x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(2x+1\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→+∞2x+1=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+1=\red{+\infty}.
On pose X=2x+1X=2x+1.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to \red{+\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
lim⁡x→+∞ln⁡(2x+1)=+∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(2x+1\right) =\purple{+\infty}
Question 2

lim⁡x→−∞ln⁡(−5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(-5x\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→−∞−5x=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } -5x=\red{+\infty}.
On pose X=−5xX=-5x.
Ainsi : lim⁡X→−∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to \red{-\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
lim⁡x→−∞ln⁡(−5x)=+∞\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(-5x\right) =\purple{+\infty}
Question 3

lim⁡x→+∞ln⁡(2x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{2}{x}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→+∞2x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}=\red{0}.
On pose X=2xX=\frac{2}{x}.
Ainsi : lim⁡X→0ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to \red{0} } \ln \left(X\right) =\purple{-\infty}.
Par composition :
lim⁡x→+∞ln⁡(2x)=−∞\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{2}{x}\right) =\purple{-\infty}
Question 4

lim⁡x→1+ln⁡(2x−2)\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer lim⁡x→1+2x−2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi lim⁡x→1+2x−2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=\red{0^{+}}
On pose X=2x−2X=2x-2.
Ainsi : lim⁡X→0+ln⁡(X)=−∞\lim\limits_{X\to \red{0^{+}} } \ln \left(X\right) =\purple{-\infty}.
Par composition :
lim⁡x→1+ln⁡(2x−2)=−∞\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right) =\purple{-\infty}
Question 5

lim⁡x→0+ln⁡(1x+1)\lim\limits_{x\to 0^{+}} \ln \left(\frac{1}{x}+1\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  1x+1‾\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;\frac{1}{x}+1}
lim⁡x→0+1x=+∞lim⁡x→0+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^+ }\frac{1}{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 0^+ } 1} & {=} & {1 } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
lim⁡x→0+1x+1=+∞\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^+ }\frac{1}{x}+1={\color{red}+\infty}

On pose X=1x+1X=\frac{1}{x}+1.
Ainsi : lim⁡X→+∞ln⁡(X)=+∞\lim\limits_{X\to \red{+\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
lim⁡x→0+ln⁡(1x+1)=+∞\lim\limits_{x\to 0^+} \ln \left(\frac{1}{x}+1\right) =\purple{+\infty}