🔴  Lives #BAC2024

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Fonction logarithme népérien

Les limites avec la fonction xln(u(x))x\mapsto \ln \left(u\left(x\right)\right) - Exercice 1

15 min
30
Question 1
Déterminer les limites suivantes :

limx+ln(2x+1)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(2x+1\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx+2x+1=+\lim\limits_{x\to +\infty } 2x+1=\red{+\infty}.
On pose X=2x+1X=2x+1.
Ainsi : limX+ln(X)=+\lim\limits_{X\to \red{+\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
limx+ln(2x+1)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(2x+1\right) =\purple{+\infty}
Question 2

limxln(5x)\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(-5x\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx5x=+\lim\limits_{x\to -\infty } -5x=\red{+\infty}.
On pose X=5xX=-5x.
Ainsi : limXln(X)=+\lim\limits_{X\to \red{-\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
limxln(5x)=+\lim\limits_{x\to -\infty } \ln \left(-5x\right) =\purple{+\infty}
Question 3

limx+ln(2x)\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{2}{x}\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx+2x=0\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{2}{x}=\red{0}.
On pose X=2xX=\frac{2}{x}.
Ainsi : limX0ln(X)=\lim\limits_{X\to \red{0} } \ln \left(X\right) =\purple{-\infty}.
Par composition :
limx+ln(2x)=\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(\frac{2}{x}\right) =\purple{-\infty}
Question 4

limx1+ln(2x2)\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
On commence par calculer limx1+2x2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=0^{+}. Le tableau de signe ci-dessous nous explique pourquoi limx1+2x2=0+\lim\limits_{x\to 1^{+}} 2x-2=\red{0^{+}}
On pose X=2x2X=2x-2.
Ainsi : limX0+ln(X)=\lim\limits_{X\to \red{0^{+}} } \ln \left(X\right) =\purple{-\infty}.
Par composition :
limx1+ln(2x2)=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \ln \left(2x-2\right) =\purple{-\infty}
Question 5

limx0+ln(1x+1)\lim\limits_{x\to 0^{+}} \ln \left(\frac{1}{x}+1\right)

Correction
Ici, il s'agit d'une limite par composition.
1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  1x+1\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;\frac{1}{x}+1}
limx0+1x=+limx0+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to 0^+ }\frac{1}{x}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to 0^+ } 1} & {=} & {1 } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
limx0+1x+1=+\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^+ }\frac{1}{x}+1={\color{red}+\infty}

On pose X=1x+1X=\frac{1}{x}+1.
Ainsi : limX+ln(X)=+\lim\limits_{X\to \red{+\infty} } \ln \left(X\right) =\purple{+\infty}.
Par composition :
limx0+ln(1x+1)=+\lim\limits_{x\to 0^+} \ln \left(\frac{1}{x}+1\right) =\purple{+\infty}