Fonction logarithme népérien
Les dérivées avec la fonction x↦ln(x)
Exercice 1
1
f(x)=3+ln(x)
(ln(x))′=x1 On a donc :
f′(x)=x1 2
f(x)=−2x+5ln(x)−7
(ln(x))′=x1 On a donc :
f′(x)=−2+5×x1 f′(x)=−2+x5 On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=x−2x+x5Ainsi :
f′(x)=x−2x+5 3
f(x)=5x2+6ln(x)−9
(ln(x))′=x1 f(x)=5x2+6ln(x)−9 On a donc :
f′(x)=2×5x+6×x1 f′(x)=10x+x6 On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=x10x2+x6Ainsi :
f′(x)=x10x2+6 4
f(x)=2ln(x)+x2
(ln(x))′=x1 f(x)=2ln(x)+x2 On a donc :
f′(x)=2×x1−x22 f′(x)=x2−x22 On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=x22x−x22Ainsi :
f′(x)=x22x−2 5
f(x)=xln(x)
(ln(x))′=x1 Deˊriveˊe du produit : (uv)′=u′v+uv′ Ici on reconnaît la forme
(uv)′=u′v+uv′ avec
u(x)=x et
v(x)=ln(x).
Ainsi
u′(x)=1 et
v′(x)=x1.
Il vient alors que :
f′(x)=1×ln(x)+x×x1f′(x)=ln(x)+xx f′(x)=ln(x)+1 6
f(x)=x2ln(x)
(ln(x))′=x1 Deˊriveˊe du quotient : (vu)′=v2u′v−uv′ Ici on reconnaît la forme :
(vu)′=v2u′v−uv′ avec
u(x)=2ln(x) et
v(x)=x.
Ainsi
u′(x)=x2 et
v′(x)=1.
Il vient alors que :
f′(x)=x2x2×x−2ln(x) équivaut successivement à :
f′(x)=x22−2ln(x) 7
f(x)=3x−7ln(x)−x2
(ln(x))′=x1 f(x)=3x−7ln(x)−x2 On a donc :
f′(x)=3−7×x1+x22 f′(x)=3−x7+x22 On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=x23x2−x27x+x22Ainsi :
f′(x)=x23x2−7x+2 8
f(x)=2x2+5x−ln(x)
(ln(x))′=x1 f(x)=2x2+5x−ln(x) On a donc :
f′(x)=2×2x+5−x1 f′(x)=4x+5−x1 On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
f′(x)=x4x2+x5x−x1Ainsi :
f′(x)=x4x2+5x−1