Fonction logarithme népérien

Les dérivées avec la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 1

20 min
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Déterminer les dérivées des fonctions suivantes.
On supposera que toutes les fonctions de l'exercice seront dérivables sur l'intervalle I=]0;+∞[I=\left]0;+\infty \right[
Question 1

f(x)=3+ln⁡(x)f\left(x\right)=3+\ln \left(x\right)

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • On a donc :
    f′(x)=1xf'\left(x\right)=\frac{1}{x}

    Question 2

    f(x)=−2x+5ln⁡(x)−7f\left(x\right)=-2x+5\ln \left(x\right)-7

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • On a donc :
    f′(x)=−2+5×1xf'\left(x\right)=-2+5\times \frac{1}{x}
    f′(x)=−2+5xf'\left(x\right)=-2+\frac{5}{x}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=−2xx+5xf'\left(x\right)=\frac{-2x}{x}+\frac{5}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=−2x+5xf'\left(x\right)=\frac{-2x+5}{x}
    Question 3

    f(x)=5x2+6ln⁡(x)−9f\left(x\right)=5x^{2} +6\ln \left(x\right)-9

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=5x2+6ln⁡(x)−9f\left(x\right)=5x^{2} +6\ln \left(x\right)-9   \;On a donc :
    f′(x)=2×5x+6×1xf'\left(x\right)=2\times5x+6\times \frac{1}{x}
    f′(x)=10x+6xf'\left(x\right)=10x+\frac{6}{x}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=10x2x+6xf'\left(x\right)=\frac{10x^2}{x}+\frac{6}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=10x2+6xf'\left(x\right)=\frac{10x^2+6}{x}
    Question 4

    f(x)=2ln⁡(x)+2xf\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2}{x}

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=2ln⁡(x)+2xf\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{2}{x}   \;On a donc :
    f′(x)=2×1x−2x2f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}
    f′(x)=2x−2x2f'\left(x\right)=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=2xx2−2x2f'\left(x\right)=\frac{2x}{x^2}-\frac{2}{x^2}
    Ainsi :
    f′(x)=2x−2x2f'\left(x\right)=\frac{2x-2}{x^2}
    Question 5

    f(x)=xln⁡(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • Deˊriveˊe du produit :\red{\text{Dérivée du produit :}} (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×ln⁡(x)+x×1xf'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}
    f′(x)=ln⁡(x)+xxf'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}
    f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1
    Question 6

    f(x)=2ln⁡(x)xf\left(x\right)=\frac{2\ln \left(x\right)}{x}

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • Deˊriveˊe du quotient :\red{\text{Dérivée du quotient :}} (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }
    • Ici on reconnaît la forme : (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} } avec u(x)=2ln⁡(x)u\left(x\right)=2\ln \left(x\right) et v(x)=xv\left(x\right)=x.
    Ainsi u′(x)=2xu'\left(x\right)=\frac{2}{x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1.
    Il vient alors que :
    f′(x)=2x×x−2ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{\frac{2}{x} \times x-2\ln \left(x\right)}{x^{2} } équivaut successivement à :
    f′(x)=2−2ln⁡(x)x2f'\left(x\right)=\frac{2-2\ln \left(x\right)}{x^{2} }
    Question 7

    f(x)=3x−7ln⁡(x)−2xf\left(x\right)=3x-7\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}
    • f(x)=3x−7ln⁡(x)−2xf\left(x\right)=3x-7\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}   \;On a donc :
    f′(x)=3−7×1x−(−2x2)f'\left(x\right)=3-7\times \frac{1}{x}-\left(\frac{-2}{x^2}\right)
    f′(x)=3−7x+2x2f'\left(x\right)=3-\frac{7}{x}+\frac{2}{x^2}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=3x2x2−7xx2+2x2f'\left(x\right)=\frac{3x^2}{x^2}-\frac{7x}{x^2}+\frac{2}{x^2}
    Ainsi :
    f′(x)=3x2−7x+2x2f'\left(x\right)=\frac{3x^2-7x+2}{x^2}
    Question 8

    f(x)=2x2+5x−ln⁡(x)f\left(x\right)=2x^{2}+5x-\ln \left(x\right)

    Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=2x2+5x−ln⁡(x)f\left(x\right)=2x^{2}+5x-\ln \left(x\right)   \;On a donc :
    f′(x)=2×2x+5−1xf'\left(x\right)=2\times2x+5-\frac{1}{x}
    f′(x)=4x+5−1xf'\left(x\right)=4x+5-\frac{1}{x}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=4x2x+5xx−1xf'\left(x\right)=\frac{4x^2}{x}+\frac{5x}{x}-\frac{1}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=4x2+5x−1xf'\left(x\right)=\frac{4x^2+5x-1}{x}