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Exercices types : 3ème partie - Exercice 1

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Question 1
Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre 100 et 600 pièces. Elle vend tout ce qui est produit.
On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [1;6][1; 6] par
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quadf(x)=−x2+10x−8−8ln⁡(x).f(x)=-x^2+10x-8-8\ln(x).
f (x) représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d’euros, obtenu pour la vente
de x centaines de pièces.
La fonction ff est dérivable sur l’intervalle [1;6].[1; 6]. On note f′f′ sa fonction dérivée.

Montrer que pour tout nombre réel xx appartenant à l’intervalle [1;6],[1; 6], on a f′(x)=−2(x−1)(x−4)xf'(x)=\frac{-2(x-1)(x-4)}{x}

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=−x2+10x−8−8ln⁡(x).f(x)=-x^2+10x-8-8\ln(x).
    On a donc :
    f′(x)=−2x+10−8×1xf'\left(x\right)=-2x+10-8\times \frac{1}{x}
    f′(x)=−2x+10−8xf'\left(x\right)=-2x+10-\frac{8}{x}

    On va mettre tout au même dénominateur pour nous préparer aux études de signe. Ainsi :
    f′(x)=−2x2x+10xx−8xf'\left(x\right)=\frac{-2x^2}{x}+\frac{10x}{x}-\frac{8}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=−2x2+10x−8xf'\left(x\right)=\frac{-2x^2+10x-8}{x}

    Or on souhaite justifier que f′(x)=−2(x−1)(x−4)xf'(x)=\frac{-2(x-1)(x-4)}{x}
    Il nous suffit ici de développer le dénominateur on obtien donc :
    f′(x)=−2(x2−4x−x+4)xf'(x)=\frac{-2(x^2-4x-x+4)}{x}       \;\;\;⟹\color{red}\Longrightarrow      \;\;\; f′(x)=−2(x2−5x+4)xf'(x)=\frac{-2(x^2-5x+4)}{x}
    f′(x)=−2x2+10x−8xf'(x)=\frac{-2x^2+10x-8}{x}
    On peut donc conclure que f′(x)=−2(x−1)(x−4)x\boxed{\color{red}{f'(x)=\frac{-2(x-1)(x-4)}{x}}}

    Question 2

    Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur l’intervalle [1;6].1; 6].

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.

    f′(x)=−2(x−1)(x−4)xf'(x)=\frac{-2(x-1)(x-4)}{x}
    Sur l’intervalle [1;6],1; 6], x>0x>0 par conséquent f′(x)f'(x) est du signe de son numérateur −2(x−1)(x−4).-2(x-1)(x-4).
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
    • x−1=0⇔x=1x-1=0\Leftrightarrow x=1
    Soit x↦x−1x\mapsto x-1 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1x-1 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=1x=1 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
    • x−4=0⇔x=9x-4=0\Leftrightarrow x=9
    Soit x↦x−9x\mapsto x-9 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−4x-4 par le signe (−)\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=4x=4 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} −2-2 est strictement négatif. On mettra que le signe (−)\left(-\right) dans la ligne de −2-2.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Question 3

    En déduire le tableau de variations de la fonction ff sur l’intervalle [1;6].[1; 6].

    Correction

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