Pour étudier le signe d'un produit :
- On étudie le signe de chaque facteur.
- On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
- On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
f′(x)=x−2(x−1)(x−4)Sur l’intervalle [
1;6], x>0 par conséquent
f′(x) est du signe de son numérateur
−2(x−1)(x−4).D’une part : x−1=0⇔x=1Soit
x↦x−1 est une fonction affine
croissante car son coefficient directeur
a=1>0.
(Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−1 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=1 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)D’autre part : x−4=0⇔x=9Soit
x↦x−9 est une fonction affine
croissante car son coefficient directeur
a=1>0.
(Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x−4 par le signe (−) et dès que l'on dépasse la valeur x=4 on mettra le signe (+) dans le tableau de signe.)Enfin : −2 est strictement négatif. On mettra que le signe
(−) dans la ligne de
−2.
Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :