Fonction logarithme népérien

Exercices types : 2ème partie - Exercice 1

30 min
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Partie  A  :\bf\underline{Partie\;A\;:}
On considère la fonction gg définie sur [1;+[[1 ; +\infty[ par :
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad g(x)=lnx12.g(x)=\ln{x}-\frac{1}{2}.
Question 1

Calculer g(x)g'(x) sur [1;+[.[1 ; +\infty[.

Correction
  • (ln(x))=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • On a donc :
    g(x)=1xg'\left(x\right)=\frac{1}{x}

    Question 2

    Etudier le signe de g(x)g'(x) et dresser le tableau de variation de g(x).g(x).

    Correction
    Etudions le signe de g(x)g'(x)
    g(x)=1xg'(x)=\frac{1}{x}
    Sur l'intervalle [1;+[  ;[1;+\infty[\;; x>0x>0 on peut donc en déduire que 1x>0.\frac{1}{x}>0.
    Par conséquent g(x)g'(x) est positive sur [1;+[.[1;+\infty[.
    Etudions la variation de g(x).g(x).
    g(x)g'(x) est positive sur [1;+[,[1;+\infty[, on peut donc conclure que la fonction g(x)g(x) est strictement croissante sur [1;+[.[1;+\infty[.
    Question 3

    Résoudre l’équation g(x)=0g (x) = 0 dans [1;+[.[1 ; +\infty[.

    Correction
  • ln(A)=ln(B)A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
  • ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
  • lnx12=0\ln{x}-\frac{1}{2}=0 équivaut successivement à :
    lnx=12\ln{x}=\frac{1}{2}
    lnx=ln(e12)\ln x=\ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x=e12=ex=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}
    Or e]0;+[\sqrt{e} \in \left]0;+\infty \right[, donc la solution de l'équation est :
    S={e}S=\left\{\sqrt{e} \right\}
    Question 4

    En déduire que g(x)>0g \left(x\right) > 0 si et seulement si x>e.x >\sqrt{e}.

    Correction
  • ln(A)>ln(B)A>B\ln \left(A\right)>\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A>B
  • ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
  • lnx12>0\ln{x}-\frac{1}{2}>0 équivaut successivement à :
    lnx>12\ln{x}>\frac{1}{2}
    lnx>ln(e12)\ln x>\ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right) car ln(ea)=a\ln \left(e^{a} \right)=a
    x>e12x>e^{\frac{1}{2}}
    x>ex>\sqrt{e}
    Finalement : g(x)>0g \left(x\right) > 0 si et seulement si x>e.x >\sqrt{e}.
    Question 5
    On considère la fonction ff définie sur [1;+[[1 ; +\infty[ par :
    \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(x)=2x2(lnx1)+2.f(x)=2x^2(\ln{x}-1)+2.

    Déterminer la limite de ff en +.+\infty.

    Correction
  • limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)=+\infty
  • f(x)=2x2(lnx1)+2f(x)=2x^2(\ln{x}-1)+2
    1°)  Calculons  dans  un  premier  temps  la  limite  de  ln(x)1\underline{\color{black}1°)\;Calculons\;dans\;un\;premier\;temps\;la\;limite\;de\;\ln(x)-1}
    limx+1=1limx+ln(x)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }-1} & {=} & {-1 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}   \;limx+ln(x)1=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-1=+\infty
    2°)  Calculons  dans  un  second  temps  la  limite  de  2x2(lnx1)\underline{\color{black}2°)\;Calculons\;dans\;un\;second\;temps\;la\;limite\;de\;2x^2(\ln{x}-1)}
    limx+2x2=+limx+ln(x)1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2x^2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \ln \left(x\right)-1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}   \;limx+2x2(lnx1)=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x^2(\ln x-1)=+\infty
    On  peut  donc  conclure  :\underline{\color{black}On\;peut\;donc\;conclure\;:}
    limx+2x2(lnx1)=+limx+2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }2x^2(\ln{x}-1)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } 2} & {=} & {2 } \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
    limx+2x2(lnx1)+2=+\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } 2x^2(\ln{x}-1)+2=+\infty
    Question 6
    On appelle ff' la fonction dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [1;+[.[1 ; +\infty[.

    Montrer que pour tout nombre réel xx de l’intervalle [1;+[,[1 ; +\infty[, f(x)=4x  g(x).f'(x)=4x\;g(x).

    Correction
  • (ln(x))=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • Deˊriveˊe du produit :\red{\text{Dérivée du produit :}} (uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
  • f(x)=2x2(lnx1)+2f(x)=2x^2(\ln{x}-1)+2
    Ici on reconnaît la forme (uv)+w=uv+uv+w\left(uv\right)'+w'=u'v+uv'+w' avec u(x)=2x2u\left(x\right)=2x^2 , v(x)=ln(x)1v\left(x\right)=\ln \left(x\right)-1 et w(x)=2.w(x)=2.
    Ainsi u(x)=4xu'\left(x\right)=4x , v(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w(x)=0.w'(x)=0.
    Il vient alors que :
    f(x)=4x×(ln(x)1)+2x2×1xf'\left(x\right)=4x\times (\ln \left(x\right)-1)+2x^2\times \frac{1}{x}
    f(x)=4x×(ln(x)1)+2xf'\left(x\right)=4x\times(\ln \left(x\right)-1)+2x
    f(x)=4xln(x)4x+2xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)-4x+2x
    f(x)=4xln(x)2xf'\left(x\right)=4x\ln \left(x\right)-2x
    Nous allons factoriser par 4x4x, ce qui nous donne :
    f(x)=4x(ln(x)12)f'\left(x\right)=4x\left(\ln \left(x\right)-\frac{1}{2}\right)
    Finalement :
    f(x)=4x  g(x)f'(x)=4x\;g(x)
    Question 7

    Étudier le signe de f(x)f'(x) sur [1;+[[1 ; +\infty[ et en déduire le tableau de variations de ff sur [1;+[.1 ; +\infty[.

    Correction
    D'après la question précédente nous savons que : f(x)=4x  g(x)f'(x)=4x\;g(x)
    D'après la question 44, nous avons aussi montrer que g(x)>0g \left(x\right) > 0 si et seulement si x>e.x >\sqrt{e}.
    Autrement dit :
  • si x[1;e[x\in \left[1;\sqrt{e}\right[ on a g(x)<0g \left(x\right) < 0
  • si x=ex=\sqrt{e} on a g(x)=0g \left(x\right) = 0
  • si x[e;+[x\in \left[\sqrt{e};+\infty\right[ on a g(x)>0g \left(x\right) > 0
  • De plus, si x[1;+[x \in \left[1 ; +\infty\right[ alors 4x>04x>0.
    Nous traduisons cela dans le tableau de variation de ff .
    Question 8

    Montrer que, dans l’intervalle [2;3],[2; 3], l’équation f(x)=0f (x) = 0 admet une solution unique notée α.\alpha.

    Correction
    Nous commençons par calculer les valeurs f(2)f\left(2\right) et f(3)f\left(3\right) .
    f(2)=2×22(ln21)+2=8(ln21)+20,45f\left(2\right)=2\times2^2(\ln{2}-1)+2=8(\ln{2}-1)+2\approx-0,45
    f(3)=2×32(ln31)+2=18(ln31)+23,78f\left(3\right)=2\times3^2(\ln{3}-1)+2=18(\ln{3}-1)+2\approx3,78
    On reprend le tableau de variation fait à la question précédente. On fera apparaitre dans le tableau le zéro que l'on recherche.
    • Sur [2;3]\left[2;3 \right], la fonction ff est continue et strictement croissante.
      De plus, f(2)0,45f\left(2 \right)\approx-0,45 et f(3)3,78f(3)\approx 3,78
      Or 0[0,45;3,78]0\in\left[-0,45;3,78 \right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution α\alpha dans [2;3]\left[2;3\right] tel que f(x)=0f\left(x\right)=0.
    Question 9

    Déterminer un encadrement d’amplitude 10210^{−2} de α.\alpha.

    Correction
    A la calculatrice, on vérifie que :
    f(2,21)0,02f\left(2,21\right)\approx -0,02 et g(2,22)0,004g\left(2,22\right)\approx 0,004 .
    Or 0]0,02;0,004]0\in \left]-0,02;0,004\right], donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires on en déduit que :
    2,21α2,222,21\le \alpha \le 2,22