Fonction logarithme népérien

Exercices types : 2ème partie

Exercice 1

Partie  A  :\bf\underline{Partie\;A\;:}
On considère la fonction gg définie sur [1;+[[1 ; +\infty[ par :
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad g(x)=lnx12.g(x)=\ln{x}-\frac{1}{2}.
1

Calculer g(x)g'(x) sur [1;+[.[1 ; +\infty[.

Correction
2

Etudier le signe de g(x)g'(x) et dresser le tableau de variation de g(x).g(x).

Correction
3

Résoudre l’équation g(x)=0g (x) = 0 dans [1;+[.[1 ; +\infty[.

Correction
4

En déduire que g(x)>0g (x) > 0 si et seulement si x>e.x >\sqrt{e}.

Correction
On considère la fonction ff définie sur [1;+[[1 ; +\infty[ par :
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad f(x)=2x2(lnx1)+2.f(x)=2x^2(\ln{x}-1)+2.
5

Déterminer la limite de ff en +.+\infty.

Correction
On appelle ff' la fonction dérivée de la fonction ff sur l’intervalle [1;+[.[1 ; +\infty[.
6

Montrer que pour tout nombre réel xx de l’intervalle [1;+[,[1 ; +\infty[, f(x)=4x  g(x).f'(x)=4x\;g(x).

Correction
7

Étudier le signe de f(x)f'(x) sur [1;+[[1 ; +\infty[ et en déduire le tableau de variations de ff sur [1;+[.1 ; +\infty[.

Correction
8

Montrer que, dans l’intervalle [2;3],[2; 3], l’équation f(x)=0f (x) = 0 admet une solution unique notée α.\alpha.

Correction
9

Déterminer un encadrement d’amplitude 10210^{−2} de α.\alpha.

Correction
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