Fonction logarithme népérien

Exercices types : 1ère partie

Exercice 1

Partie  A  :Etude  preˊliminaire\underline{\bf{Partie\;A\;:Etude\;préliminaire}}
On considère la fonction gg définie sur l’intervalle ]0;+[]0 ; +\infty[ par :
\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quadg(x)=12ln(x)g(x)=1-2\ln(x)
On donne ci-dessous sa courbe représentative Cg\mathscr{C_g} dans un repère orthonormé (O,  i,  j  )(O,\;\vec{i},\;\vec{j}\;).
Cette courbe Cg\mathscr{C_g} coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse α.\alpha.
1

Déterminer la valeur exacte de α.\alpha.

Correction
2

On admet que la fonction gg est strictement décroissante sur l’intervalle ]0;+[.]0 ; +\infty[.
Donner, en justifiant, le signe de g(x)g (x) sur l’intervalle ]0;+[]0 ; +\infty[

Correction
Partie  B  :Etude  dune  fonction\underline{\bf{Partie\;B\;:Etude\;d'une\;fonction}}
Soit ff la fonction définie sur l’intervalle ]0;+[]0 ; +\infty[ par f(x)=2ln(x)+1x.f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.
3

Déterminer la limite de ff en ++\infty (On  rappelle  que  limx+ln(x)x=0)\left(On\;rappelle\;que\;\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \frac{\ln(x)}{x}=0\right)
On admettra que limx0f(x)=\mathop{\lim }\limits_{x\to 0 }f(x)=-\infty

Correction
4

Calculer f(x)f'(x) et montrer que f(x)=g(x)x2.f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}.

Correction
5

Étudier le signe de f(x)f'(x) et en déduire le tableau de variations de la fonction f.f .

Correction

Exercice 2

On considère la fonction ff dont la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est représentée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthonormal.

La courbe C\mathscr{C} passe par le point A(1;0)A(1;0) et admet la droite ABAB pour tangente à la courbe C.\mathscr{C}.
Pour tout réel xx de ]0  ;  +[]0\;;\;+\infty[, f(x)=(ax+b)lnxf(x)=(ax+b)\ln{x}aa et bb sont deux réels.
1

Calculer f(x)f'(x) en fonction de aa et bb.

Correction
2

Sans justifier et par lecture graphique, donner f(4)f(4) et f(1).f'(1).

Correction
3

Justifier que aa et bb sont solutions du système suivant:
{4a+b=0a+b=3\left\{\begin{array}{ccccccc} {4a+b} & {=} & {0} \\ {a+b} & {=} & {3} \end{array}\right.

Correction
4

Déterminer aa et bb.

Correction
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