Exercices types : 1^ère partie - Exercice 1

On sait que la courbe $$\mathscr{C_g}$$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse $$\alpha.$$ Cest à dire $$g(\alpha)=0.$$
Il nous faut donc résoudre l'équation suivante :
$$1-2\ln(\alpha)=0$$
$$1-2\ln (\alpha)=0$$ équivaut successivement à :
$$-2\ln (\alpha)=-1$$
$$\ln (\alpha)=\frac{-1}{-2}$$
$$\ln (\alpha)=\frac{1}{2}$$
$$\ln (\alpha)=\ln \left(e^{\frac{1}{2}} \right)$$ car $$\ln \left(e^{a} \right)=a$$
$$\alpha=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$$
Or $$\sqrt{e} \in \left]0;+\infty \right[$$, donc la valeur exacte de $$\alpha$$ est $$\sqrt{e}$$ .

D'après le calcul de la question $$1$$, nous savons que la fonction $$g$$ s'annule lorsque $$x=\sqrt{e}$$ .
La fonction, par hypothèse est strictement décroissante sur l'intervalle $$]0 ; +\infty[.$$
Il en résulte donc que :

Si $$x \in \left]0 ; \sqrt{e}\right]$$ alors $$g \left(x\right)\ge0$$ car la représentation graphique de la fonction $$g$$ est au-dessus de l'axe des abscisses et égale à zéro en $$x=\sqrt{e}$$.

Si $$x \in \left[ \sqrt{e};+\infty\right[$$ alors $$g \left(x\right)\le0$$ car la représentation graphique de la fonction $$g$$ est en dessous de l'axe des abscisses et égale à zéro en $$x=\sqrt{e}$$.

Il en résulte donc :

$$f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.$$
On peut écrire $$f(x)$$ sous la forme : $$f(x)=\frac{2\ln(x)}{x}+\frac{1}{x}$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{2\ln{(x)}}{x}} & {=} & {0 } \\ {\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{1}{x}} & {=} & {0 } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$

$$f (x) =\frac{2\ln{(x)}+1}{x}.$$
Ici on reconnaît la forme : $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1$$ et $$v\left(x\right)=x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{2}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=1$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{2}{x} \times x-(2\ln \left(x\right)+1)\times1}{x^{2} }$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=\frac{2-2\ln \left(x\right)-1}{x^{2} }$$

Or $$g(x)=1-2\ln(x)$$ On peut donc conclure :

On rappelle que pour tout réel $$x$$ strictement positif, on a : $$f'\left(x\right)=\frac{g(x)}{x^{2} }$$
D'après la partie $$A$$ question $$2$$, nous avons déterminer le signe de la fonction $$g$$.
Il vient alors :