Etudier les variations avec la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 5

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Question 1
On considère la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=xln⁡(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)

Montrer que, pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • Deˊriveˊe du produit :\red{\text{Dérivée du produit :}} (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv'
    • Ici on reconnaît la forme (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right).
    Ainsi u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} .
    Il vient alors que :
    f′(x)=1×ln⁡(x)+x×1xf'\left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x}
    f′(x)=ln⁡(x)+xxf'\left(x\right)= \ln \left(x\right)+\frac{x}{x}
    f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1
    Question 2

    En déduire les variations de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

    Correction
    Nous savons que f′(x)=ln⁡(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1 et nous travaillons sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ .
    • ln⁡(A)>ln⁡(B)⇔A>B\ln \left(A\right)> \ln \left(B\right)\Leftrightarrow A> B
    • ln⁡(e)=1\ln \left(e\right)=1
    Résolvons :
    ln⁡(x)+1≥0\ln(x)+1\ge 0
    ln⁡x≥−1\ln{x}\ge -1
    ln⁡x≥ln⁡(e−1)\ln{x}\ge \ln{(e^{-1})} Ici on ne change pas l'ordre de l'inéquation, car la fonction ln⁡\ln est strictement croissante sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[.
    x≥e−1x\ge {e^{-1}}
    Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de ln⁡(x)+1\ln{(x)}+1 dès que x≥e−1x\ge e^{-1}
    On en déduit le tableau de variation suivant :

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