Etudier les variations avec la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 4

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Question 1
On considère la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=7ln⁡(x)+4x−1f\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+4x-1

Montrer que, pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=7+4xxf'\left(x\right)=\frac{7+4x}{x}

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=7ln⁡(x)+4x−1f\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+4x-1
    f′(x)=7×1x+4f'\left(x\right)=7\times \frac{1}{x}+4
    f′(x)=7x+4f'\left(x\right)=\frac{7}{x} +4 . On va mettre tout au même dénominateur .
    f′(x)=7x+4xxf'\left(x\right)=\frac{7}{x} +\frac{4x}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=7+4xxf'\left(x\right)=\frac{7+4x}{x}

    Question 2

    En déduire les variations de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

    Correction
    Nous savons que f′(x)=7+4xxf'\left(x\right)=\frac{7+4x}{x} et nous travaillons sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ .
    Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de f′f' dépend du numérateur 7+4x7+4x
    Résolvons :
    7+4x≥07+4x\ge 0
    4x≥−74x\ge -7
    x≥−74x\ge -\frac{7}{4}
    Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de 7+4x7+4x dès que x≥−74x\ge -\frac{7}{4}
    On en déduit le tableau de variation suivant :

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