Etudier les variations avec la fonction x↦ln⁡(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 2

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Question 1
On considère la fonction ff définie sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=−3ln⁡(x)+18x−1f\left(x\right)=-3\ln \left(x\right)+18x-1

Montrer que, pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f′(x)=−3+18xxf'\left(x\right)=\frac{-3+18x}{x}

Correction
  • (ln⁡(x))′=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
    • f(x)=−3ln⁡(x)+18x−1f\left(x\right)=-3\ln \left(x\right)+18x-1
    f′(x)=−3×1x+18f'\left(x\right)=-3\times \frac{1}{x} +18
    f′(x)=−3x+18f'\left(x\right)=-\frac{3}{x} +18 . On va mettre tout au même dénominateur .
    f′(x)=−3x+18xxf'\left(x\right)=-\frac{3}{x} +\frac{18x}{x}
    Ainsi :
    f′(x)=−3+18xxf'\left(x\right)=\frac{-3+18x}{x}

    Question 2

    En déduire les variations de ff sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[

    Correction
    Nous savons que f′(x)=−3+18xxf'\left(x\right)=\frac{-3+18x}{x} et nous travaillons sur l'intervalle ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ .
    Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de f′f' dépend du numérateur −3+18x-3+18x
    Résolvons :
    −3+18x≥0-3+18x\ge 0
    18x≥318x\ge 3
    x≥318x\ge \frac{3}{18}
    x≥16x\ge \frac{1}{6}
    Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de −3+18x-3+18x dès que x≥16x\ge \frac{1}{6}
    On en déduit le tableau de variation suivant :

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