Etudier les variations avec la fonction $$x\mapsto \ln \left(x\right)$$ - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} -4$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -4$$ . On va mettre tout au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{4x}{x}$$
Ainsi :

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}$$ et nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$ .
Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$2-4x$$
Résolvons :
$$2-4x\ge 0$$
$$-4x\ge -2$$
$$x\le \frac{-2}{-4}$$
$$x\le \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2-4x$$ dès que $$x\le \frac{1}{2}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :