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Fonction logarithme népérien

Etudier les variations avec la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right) - Exercice 1

6 min
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Question 1
On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2ln(x)4x+3f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-4x+3

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=24xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}

Correction
  • (ln(x))=1x\left(\ln \left(x\right)\right)'=\frac{1}{x}
  • f(x)=2×1x4f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} -4
    f(x)=2x4f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -4 . On va mettre tout au même dénominateur .
    f(x)=2x4xxf'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{4x}{x}
    Ainsi :
    f(x)=24xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}

    Question 2

    En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

    Correction
    Nous savons que f(x)=24xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x} et nous travaillons sur l'intervalle ]0;+[\left]0;+\infty \right[ .
    Le dénominateur est alors strictement positif. Donc le signe de ff' dépend du numérateur 24x2-4x
    Résolvons :
    24x02-4x\ge 0
    4x2-4x\ge -2
    x24x\le \frac{-2}{-4}
    x12x\le \frac{1}{2}
    Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de 24x2-4x dès que x12x\le \frac{1}{2}
    On en déduit le tableau de variation suivant :