Fonction logarithme népérien

Etudier les variations avec la fonction xln(x)x\mapsto \ln \left(x\right)

Exercice 1

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=2ln(x)4x+3f\left(x\right)=2\ln \left(x\right)-4x+3
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=24xxf'\left(x\right)=\frac{2-4x}{x}

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 2

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=3ln(x)+18x1f\left(x\right)=-3\ln \left(x\right)+18x-1
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=3+18xxf'\left(x\right)=\frac{-3+18x}{x}

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 3

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=4ln(x)2x2+7f\left(x\right)=4\ln \left(x\right)-2x^{2}+7
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=44x2xf'\left(x\right)=\frac{4-4x^2}{x}

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 4

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=7ln(x)+4x1f\left(x\right)=7\ln \left(x\right)+4x-1
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=7+4xxf'\left(x\right)=\frac{7+4x}{x}

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 5

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=xln(x)f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=ln(x)+1f'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+1

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction

Exercice 6

On considère la fonction ff définie sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ par f(x)=ln(x)+2xf\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)+2}{x}
1

Montrer que, pour tout réel x]0;+[x\in \left]0;+\infty \right[, on a : f(x)=ln(x)1x2f'\left(x\right)=\frac{-\ln \left(x\right)-1}{x^{2} }

Correction
2

En déduire les variations de ff sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[

Correction
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