Fonction logarithme népérien

Déterminer le domaine de définition - Exercice 1

12 min
25
Question 1
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

f(x)=ln(3x6)f\left(x\right)=\ln \left(3x-6\right)

Correction
La fonction ff est deˊfinie\red{\text{définie}} si et seulement si :
3x6>03x-6>0 équivaut successivement à :
3x>63x>6
x>63x>\frac{6}{3}
x>2x>2
Ainsi le domaine de définition est :
Df=]2;+[D_{f} =\left]2;+\infty \right[

Question 2

f(x)=ln(2x+10)f\left(x\right)=\ln \left(-2x+10\right)

Correction
La fonction ff est deˊfinie\red{\text{définie}} si et seulement si :
2x+10>0-2x+10>0 équivaut successivement à :
2x>10-2x>-10
x<102x<\frac{-10}{-2}       \;\;\;Ici on oublie pas de  changer  le  signe  de  lineˊquation\color{red}de\;changer\;le\;signe\;de\;l'inéquation, car on divise de part et d'autre par un nombre négatif.
x<5x<5
Ainsi le domaine de définition est :
Df=];5[D_{f} =\left]-\infty;5 \right[

Question 3

f(x)=ln(x+1)+ln(x+1)f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)+\ln \left(-x+1\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si {x+1>0 et x+1>0{x>1 et x>1{x>1 et x<11{x>1 et x<1\left\{\begin{array}{c} {x+1>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x+1>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {-x>-1} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x<\frac{-1}{-1}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>-1} \\ {\text{ et }} \\ {x<1} \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
Df=]1;1[D_{f} =\left]-1;1\right[

Question 4

f(x)=ln(x7)f\left(x\right)=\ln \left(x-7\right)

Correction
La fonction ff est deˊfinie\red{\text{définie}} si et seulement si :
x7>0x-7>0 équivaut successivement à :
x>7x>7
Ainsi le domaine de définition est :
Df=]7;+[D_{f} =\left]7;+\infty \right[

Question 5

f(x)=ln(x)+ln(3x)f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\ln \left(3-x\right)

Correction
La fonction ff est définie si et seulement si {x>0 et 3x>0{x>0 et x>3{x>0 et x<31{x>0 et x<3\left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {3-x>0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {-x>-3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x<\frac{-3}{-1}} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x>0} \\ {\text{ et }} \\ {x<3} \end{array}\right.
On fait l'intersection des deux intervalles, ainsi le domaine de définition est :
Df=]0;3[D_{f} =\left]0;3\right[

Question 6

f(x)=ln(x29)f\left(x\right)=\ln \left(x^{2}-9\right)

Correction
La fonction ff est deˊfinie\red{\text{définie}} si et seulement si : x29>0x^{2}-9>0
Nous allons utiliser le discriminant.
Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac ainsi Δ=36>0\Delta =36>0
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=0362×1x_{1} =\frac{-0-\sqrt{36} }{2\times 1} d'où x1=3x_{1} =-3
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=0+362×1x_{2} =\frac{-0+\sqrt{36} }{2\times 1} d'où x2=3x_{2} =3
Dans notre situation, a=1>0a=1>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
Finalement, ff est définie si et seulement si
x];3[]3;+[x\in \left]-\infty ;-3\right[\cup \left]3;+\infty \right[