Suites et récurrence

Utiliser le théorème de convergence des suites monotones - Exercice 4

15 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=10u_{0} =10 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=25un+3u_{n+1} =\frac{2}{5}u_{n}+3.
Question 1

Démontrer que , pour tout entier naturel nn, que la suite (un)\left(u_{n} \right) est minorée par 55.

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un5P_{n} :u_{n} \ge 5 (c'est la traduction mathématique d'une suite minorée par 55).
Etape d’initialisation\purple{\text{Etape d'initialisation}}
On sait que u0=10u_{0} =10 ainsi u05u_{0} \ge 5.
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Etape d'hérédité}}
Soit kk un entier naturel. On suppose qu'à partir d'un certain rang kk, la propriété PkP_{k} est vraie c'est-à-dire uk5u_{k} \ge 5 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire uk+15u_{k+1} \ge 5. Par hypothèse de récurrence :
uk5u_{k} \ge 5 , on multiplie par 25\frac{2}{5} de part et d'autre de l'inégalité
25uk25×5\frac{2}{5}u_{k} \ge \frac{2}{5}\times 5
25uk2\frac{2}{5}u_{k} \ge 2 , on ajoute 22 de part et d'autre de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche uk+1u_{k+1} ). Il vient alors que :
25uk+32+3\frac{2}{5}u_{k} +3\ge 2+3
uk+15u_{k+1} \ge 5
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
un5u_{n} \ge 5
Question 2

Déterminer le sens de la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
Nous allons à nouveau effectuer un raisonnement par récurrence pour étudier le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n} \right).
Pour cela, on sait que u0=10u_{0} =10 et que u1=25u0+3u_{1} =\frac{2}{5}u_{0}+3, ainsi u1=7u_{1} =7.
Une suite unu_{n} est décroissante si et seulement : un+1un<0u_{n+1}-u_{n}<0 autrement dit un+1<unu_{n+1}<u_{n}.
On remarque que u1<u0u_{1}< u_{0} .
On conjecture que la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un+1<unP_{n} :u_{n+1}<u_{n}
Etape d’initialisation\purple{\text{Etape d'initialisation}}
On a vu précédemment que u1<u0u_{1}<u_{0} .
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊ\purple{\text{Etape d'hérédité}}
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire : uk+1<uku_{k+1} <u_{k} et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire : uk+2<uk+1u_{k+2} <u_{k+1}
Par hypothèse de récurrence,
uk+1<uku_{k+1} <u_{k}
25uk+1<25uk\frac{2}{5}u_{k+1} <\frac{2}{5}u_{k}
25uk+1+3<25uk+3\frac{2}{5}u_{k+1}+3 <\frac{2}{5}u_{k}+3
uk+2<uk+1u_{k+2} <u_{k+1}
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion\purple{\text{Conclusion}}
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 3

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction
  • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
  • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) était minorée par 55 car : un5u_{n} \ge 5 . De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note \ell .