Utiliser le théorème de convergence des suites monotones - Exercice 3

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :0\le u_{n} \le 2$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$0\le u_{0} \le 2$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
Soit $$k$$ un entier naturel. On suppose qu'à partir d'un certain rang $$k$$, la propriété $$P_{k}$$ est vraie c'est-à-dire $$0\le u_{k} \le 2$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$0\le u_{k+1} \le 2$$
Par hypothèse de récurrence :
$$0\le u_{k} \le 2$$ . On multiplie par 2 de part et d'autre de l'inégalité.
$$0\le 2u_{n} \le 4$$ . On compose par la fonction racine carré qui est croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$, donc l'ordre de l'inégalité est conservé.
$$0\le \sqrt{2u_{k} } \le \sqrt{4}$$
$$0\le \sqrt{2u_{k} } \le 2$$
$$0\le u_{k+1} \le 2$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien $$0\le u_{n} \le 2$$ .

On va déterminer le sens de variation de la suite $$\left(u_{n} \right)$$ à l'aide d'un raisonnement par récurrence. En effet, si l'on utilise la méthode de l'étude du signe de $$u_{n+1} -u_{n}$$, on rencontrera des difficultés pour conclure.
Commençons, tout d’abord, par calculer $$u_{1}$$.
$$u_{0+1} =\sqrt{2u_{0} }$$ ou encore $$u_{1} =\sqrt{2}$$. On remarque que $$u_{1}> u_{0}$$.
On conjecture que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1}>u_{n}$$
$$\purple{\text{Etape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{1}>u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Etape d'hérédité}}$$
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire : $$u_{k+1} >u_{k}$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire : $$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k+1} >u_{k}$$ , On multiplie par 2 de part et d'autre de l'inégalité.
$$2u_{k+1} >2u_{k}$$ , or $$f:x\mapsto \sqrt{x}$$ est une fonction croissante sur $$\left[0;+\infty \right[$$ , ainsi :
$$\sqrt{2u_{k+1} } >\sqrt{2u_{k} }$$ . On rappelle que $$u_{k+1} =\sqrt{2u_{k} }$$ et de ce fait $$u_{k+2} =\sqrt{2u_{k+1} }$$. Il vient alors que :
$$u_{k+2} >u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était bornée car : $$0\le u_{n} \le 2$$. La suite $$\left(u_{n} \right)$$ est donc également majorée par $$2$$ c'est à dire $$u_{n} \le 2$$.
De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est croissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.