Suites et récurrence

Utiliser le théorème de convergence des suites monotones - Exercice 2

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=32u_{0} =\frac{3}{2} et pour tout entier naturel nn, on a un+1=un22un+2u_{n+1} =u_{n}^{2} -2u_{n} +2.
Question 1

Calculer les valeurs de u1u_{1} et u2u_{2}.

Correction
D'une part :
u0+1=u022u0+2u_{0+1} =u_{0}^{2} -2u_{0} +2 ainsi : u1=u022u0+2u_{1} =u_{0}^{2} -2u_{0} +2
On obtient : u1=(32)22×(32)+2u_{1} =\left(\frac{3}{2} \right)^{2} -2\times \left(\frac{3}{2} \right)+2 ce qui nous donne :
u1=54u_{1}=\frac{5}{4}

D'autre part :
u1+1=u122u1+2u_{1+1} =u_{1}^{2} -2u_{1} +2 ainsi : u2=u122u1+2u_{2} =u_{1}^{2} -2u_{1} +2
On obtient : u2=(54)22×(54)+2u_{2} =\left(\frac{5}{4} \right)^{2} -2\times \left(\frac{5}{4} \right)+2 ce qui nous donne :
u2=1716u_{2}=\frac{17}{16}

Question 2
On admet que , pour tout entier naturel nn, on a : 1un21\le u_{n} \le 2

Montrer que : un+1un=(un2)(un1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)

Correction
Nous savons que : un+1=un22un+2u_{n+1} =u_{n}^{2} -2u_{n} +2
Pour tout entier naturel nn, on a :
un+1un=un22un+2unu_{n+1} -u_{n}=u_{n}^{2} -2u_{n} +2-u_{n}
un+1un=un23un+2u_{n+1} -u_{n}=u_{n}^{2} -3u_{n} +2
Développons maintenant l'expression (un2)(un1)\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right), il vient alors que :
(un2)(un1)=un2un2un+2\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)=u_{n}^{2} -u_{n} -2u_{n}+2
(un2)(un1)=un23un+2\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)=u_{n}^{2} -3u_{n} +2
Il en résulte que : un+1un=(un2)(un1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)
Question 3

Déterminer le signe de un+1unu_{n+1} -u_{n}.

Correction
On admet que , pour tout entier naturel nn, on a : 1un21\le u_{n} \le 2 ainsi :
D'une part :
1un21\le u_{n} \le 2 équivaut à : 11un1211-1\le u_{n}-1 \le 2-1 c'est à dire : 0un110\le u_{n}-1 \le 1
D'autre part :
1un21\le u_{n} \le 2 équivaut à : 12un2221-2\le u_{n}-2 \le 2-2 c'est à dire : 1un20-1\le u_{n}-2 \le 0
On a donc montré que un10u{}_{n} -1\ge 0 et un20u{}_{n} -2\le 0, on en déduit donc que : un+1un0u{}_{n+1} -u_{n} \le 0 car un+1un=(un2)(un1)u_{n+1} -u_{n} =\left(u{}_{n} -2\right)\left(u{}_{n} -1\right)
Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
Question 4

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Correction
  • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
  • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
D'après les hypothèses, la suite (un)\left(u_{n} \right) est bornée car : 1un21\le u_{n} \le 2 . La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc également minorée par 11 c'est à dire un1u_{n} \ge 1 .
De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note \ell .