Nous allons à nouveau effectuer un raisonnement par récurrence pour étudier le sens de variation de la suite
(un).
Pour cela, on sait que
u0=12 et que
u1=43u0+2, ainsi
u1=11.
Une suite
un est décroissante si et seulement :
un+1−un<0 autrement dit
un+1<un.
On remarque que
u1<u0.
On conjecture que la suite
(un) est décroissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un+1<unEtape d’initialisationOn a vu précédemment que
u1<u0.
La propriété
P0 est vraie.
Etape d’heˊreˊditeˊSoit
k un entier naturel.
On suppose qu'à partir d'un certain rang
k, la propriété
Pk est vraie c'est-à-dire :
uk+1<uk et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire :
uk+2<uk+1Par hypothèse de récurrence,
uk+1<uk 43uk+1<43uk 43uk+1+2<43uk+2 . Or nous savons que
uk+1=43uk+2 ce qui permet de dire que
uk+2=43uk+1+2. Il en résulte donc :
uk+2<uk+1Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, la suite
(un) est
décroissante.