Utiliser le théorème de convergence des suites monotones - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \ge 8$$ (c'est la traduction mathématique d'une suite minorée par $$8$$).
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On sait que $$u_{0} =12$$ ainsi $$u_{0} \ge 8$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Étape d'hérédité
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k} \ge 8$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1} \ge 8$$. Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \ge 8$$ , on multiplie par $$\frac{3}{4}$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$\frac{3}{4}u_{k} \ge \frac{3}{4}\times 8$$
$$\frac{3}{4}u_{k} \ge 6$$ , on ajoute maintenant $$2$$ de part et d'autre de l'inégalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$). Il vient alors que :
$$\frac{3}{4}u_{k} +2\ge 6+2$$
$$u_{k+1} \ge 8$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Nous allons à nouveau effectuer un raisonnement par récurrence pour étudier le sens de variation de la suite $$\left(u_{n} \right)$$.
Pour cela, on sait que $$u_{0} =12$$ et que $$u_{1} =\frac{3}{4}u_{0}+2$$, ainsi $$u_{1} =11$$.
Une suite $$u_{n}$$ est décroissante si et seulement si : $$u_{n+1}-u_{n}<0$$ autrement dit $$u_{n+1}\lt u_{n}$$.
On remarque que $$u_{1}< u_{0}$$.
On conjecture que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
Il faut donc démontrer cette conjecture par récurrence
Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n+1}\lt u_{n}$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On a vu précédemment que $$u_{1}\lt u_{0}$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Soit $$k$$ un entier naturel.
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un $$k$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k+1} \lt u_{k}$$ . Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+2} \lt u_{k+1}$$ .
Par hypothèse de récurrence,
$$u_{k+1} \lt u_{k}$$
$$\frac{3}{4}u_{k+1} <\frac{3}{4}u_{k}$$
$$\frac{3}{4}u_{k+1}+2 <\frac{3}{4}u_{k}+2$$ . Or nous savons que $$u_{k+1} =\frac{3}{4}u_{k}+2$$ ce qui permet de dire que $$u_{k+2} =\frac{3}{4}u_{k+1}+2$$. Il en résulte donc :
$$u_{k+2} \lt u_{k+1}$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $$n$$, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.

On vient de démontrer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ était minorée par $$8$$ car : $$u_{n} \ge 8$$. De plus, la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite $$\left(u_{n} \right)$$ est convergente et admet donc une limite que l'on note $$\ell$$.