Une question issue du sujet Polynésie 17 Juin 2026 - Exercice 1

10 min
20
Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Question 1

La suite (un)\left(u_n\right) est définie pour tout entier naturel nn non nul par : un=sin⁡(n)nu_n=\dfrac{\sin(n)}{n}.
Affirmation : La suite (un)\left(u_n\right) n'admet pas de limite.

Correction
    Theˊoreˋme des gendarmes\red{\text{Théorème des gendarmes}}
  • Si, à partir d'un certain rang, vn⩽un⩽wnv_n\leqslant u_n\leqslant w_n et si les suites (vn)\left(v_n\right) et (wn)\left(w_n\right) convergent vers la même limite ℓ\ell, alors la suite (un)\left(u_n\right) converge vers ℓ\ell.
    • Pour tout entier naturel nn non nul : −1⩽sin⁡(n)⩽1-1\leqslant \sin(n)\leqslant 1.
    En divisant par n>0n\gt 0 (le sens des inégalités est conservé) : −1n⩽un⩽1n-\dfrac{1}{n}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n}.
    Or lim⁡n→+∞−1n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}-\dfrac{1}{n}=0 et lim⁡n→+∞1n=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0.
    D'après le théorème des gendarmes : lim⁡n→+∞un=0\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0.
    L'affirmation est fausse : la suite (un)\left(u_n\right) converge vers 00.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.