Un peu plus dur...Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 2

30 min
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Question 1

Calculer lim⁡n→+∞n2+3n−2−n2−n−1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a : un=n2+3n−2−n2−n−1u_n=\sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}.
  • Lorsque l'on rencontre une expression avec une forme a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} afin d'obtenir a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

On multiplie et on divise par le conjugueˊ\red{\text{On multiplie et on divise par le conjugué}} de n2+3n−2−n2−n−1\sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1} qui est n2+3n−2+n2−n−1\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}.

Cela nous donne donc :

un=(n2+3n−2−n2−n−1)(n2+3n−2+n2−n−1)n2+3n−2+n2−n−1u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}\right)\left(\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}\right)}{\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}

Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2.

un=(n2+3n−2)2−(n2−n−1)2n2+3n−2+n2−n−1u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+3n-2}\right)^2-\left(\sqrt{n^2-n-1}\right)^2}{\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}

un=n2+3n−2−(n2−n−1)n2+3n−2+n2−n−1u_n=\frac{n^2+3n-2-\left(n^2-n-1\right)}{\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}

un=n2+3n−2−n2+n+1n2+3n−2+n2−n−1u_n=\frac{n^2+3n-2-n^2+n+1}{\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}
un=4n−1n2+3n−2+n2−n−1u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n-2}+\sqrt{n^2-n-1}}

Nous allons simplifier les expressions du dénominateur en factorisant le radical par n2n^2.
n2+3n−2=n2(1+3n−2n2)\sqrt{n^2+3n-2}=\sqrt{n^2\left(1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}

n2+3n−2=n21+3n−2n2\sqrt{n^2+3n-2}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}

n2+3n−2=n1+3n−2n2\sqrt{n^2+3n-2}=n\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{2}{n^2}}

De même :

n2−n−1=n2(1−1n−1n2)\sqrt{n^2-n-1}=\sqrt{n^2\left(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}

n2−n−1=n21−1n−1n2\sqrt{n^2-n-1}=\sqrt{n^2}\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}

n2−n−1=n1−1n−1n2\sqrt{n^2-n-1}=n\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}

Ainsi :

un=4n−1n1+3n−2n2+n1−1n−1n2u_n=\frac{4n-1}{n\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+n\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}}

un=n(4−1n)n(1+3n−2n2+1−1n−1n2)u_n=\frac{n\left(4-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}\right)}

En simplifiant par nn, on obtient :
un=4−1n1+3n−2n2+1−1n−1n2u_n=\frac{4-\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}}}

lim⁡n→+∞4−1n=4lim⁡n→+∞1+3n−2n2+1−1n−1n2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4-\dfrac{1}{n} } & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{1+\dfrac{3}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}} } & {=} & {2 } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞n2+3n−2−n2−n−1=2{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+3n-2}-\sqrt{n^2-n-1}=2
Question 2

Calculer lim⁡n→+∞n2+5n−3−n2+2n+4{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+5n-3}-\sqrt{n^2+2n+4}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a : un=n2+5n−3−n2+2n+4u_n=\sqrt{n^2+5n-3}-\sqrt{n^2+2n+4}.
  • Lorsque l'on rencontre une expression avec une forme a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} afin d'obtenir a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

On multiplie et on divise par le conjugueˊ\red{\text{On multiplie et on divise par le conjugué}} de n2+5n−3−n2+2n+4\sqrt{n^2+5n-3}-\sqrt{n^2+2n+4} qui est n2+5n−3+n2+2n+4\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}.

Cela nous donne donc :

un=(n2+5n−3−n2+2n+4)(n2+5n−3+n2+2n+4)n2+5n−3+n2+2n+4u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+5n-3}-\sqrt{n^2+2n+4}\right)\left(\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}\right)}{\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}}

Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2.

un=(n2+5n−3)2−(n2+2n+4)2n2+5n−3+n2+2n+4u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+5n-3}\right)^2-\left(\sqrt{n^2+2n+4}\right)^2}{\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}}

un=n2+5n−3−(n2+2n+4)n2+5n−3+n2+2n+4u_n=\frac{n^2+5n-3-\left(n^2+2n+4\right)}{\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}}

un=n2+5n−3−n2−2n−4n2+5n−3+n2+2n+4u_n=\frac{n^2+5n-3-n^2-2n-4}{\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}}
un=3n−7n2+5n−3+n2+2n+4u_n=\frac{3n-7}{\sqrt{n^2+5n-3}+\sqrt{n^2+2n+4}}

Nous allons simplifier les expressions du dénominateur en factorisant le radical par n2n^2.

n2+5n−3=n2(1+5n−3n2)\sqrt{n^2+5n-3}=\sqrt{n^2\left(1+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}

n2+5n−3=n21+5n−3n2\sqrt{n^2+5n-3}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}

n2+5n−3=n1+5n−3n2\sqrt{n^2+5n-3}=n\sqrt{1+\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}}

De même :

n2+2n+4=n2(1+2n+4n2)\sqrt{n^2+2n+4}=\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}

n2+2n+4=n21+2n+4n2\sqrt{n^2+2n+4}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}

n2+2n+4=n1+2n+4n2\sqrt{n^2+2n+4}=n\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}}

Ainsi :

un=3n−7n1+5n−3n2+n1+2n+4n2u_n=\frac{3n-7}{n\sqrt{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}}+n\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}}

un=n(3−7n)n(1+5n−3n2+1+2n+4n2)u_n=\frac{n\left(3-\dfrac{7}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}\right)}

En simplifiant par nn, on obtient :
un=3−7n1+5n−3n2+1+2n+4n2u_n=\frac{3-\dfrac{7}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}}}

lim⁡n→+∞3−7n=3lim⁡n→+∞1+5n−3n2+1+2n+4n2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3-\dfrac{7}{n} } & {=} & {3 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}} } & {=} & {2 } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞n2+5n−3−n2+2n+4=32{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+5n-3}-\sqrt{n^2+2n+4}=\dfrac{3}{2}
Question 3

lim⁡n→+∞n2+253n−2−n2+n+4{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}-\sqrt{n^2+n+4}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on a : un=n2+253n−2−n2+n+4u_n=\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}-\sqrt{n^2+n+4}.
  • Lorsque l'on rencontre une expression avec une forme a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}, il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} afin d'obtenir a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

On multiplie et on divise par le conjugueˊ\red{\text{On multiplie et on divise par le conjugué}} de n2+253n−2−n2+n+4\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}-\sqrt{n^2+n+4} qui est n2+253n−2+n2+n+4\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}.

Cela nous donne donc :

un=(n2+253n−2−n2+n+4)(n2+253n−2+n2+n+4)n2+253n−2+n2+n+4u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}-\sqrt{n^2+n+4}\right)\left(\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}\right)}{\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}}

Apparaît ici l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2.

un=(n2+253n−2)2−(n2+n+4)2n2+253n−2+n2+n+4u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}\right)^2-\left(\sqrt{n^2+n+4}\right)^2}{\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}}

un=n2+253n−2−(n2+n+4)n2+253n−2+n2+n+4u_n=\frac{n^2+\dfrac{25}{3}n-2-\left(n^2+n+4\right)}{\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}}

un=n2+253n−2−n2−n−4n2+253n−2+n2+n+4u_n=\frac{n^2+\dfrac{25}{3}n-2-n^2-n-4}{\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}}
un=223n−6n2+253n−2+n2+n+4u_n=\frac{\dfrac{22}{3}n-6}{\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}+\sqrt{n^2+n+4}}

Nous allons simplifier les expressions du dénominateur en factorisant le radical par n2n^2.

n2+253n−2=n2(1+253n−2n2)\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}=\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}\right)}

n2+253n−2=n21+253n−2n2\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}

n2+253n−2=n1+253n−2n2\sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}=n\sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}

De même :

n2+n+4=n2(1+1n+4n2)\sqrt{n^2+n+4}=\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}\right)}

n2+n+4=n21+1n+4n2\sqrt{n^2+n+4}=\sqrt{n^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}}

n2+n+4=n1+1n+4n2\sqrt{n^2+n+4}=n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}}

Ainsi :

un=223n−6n1+253n−2n2+n1+1n+4n2u_n=\frac{\dfrac{22}{3}n-6}{n\sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}+n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}}}

un=n(223−6n)n(1+253n−2n2+1+1n+4n2)u_n=\frac{n\left(\dfrac{22}{3}-\dfrac{6}{n}\right)}{n\left(\sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}}\right)}

En simplifiant par nn, on obtient :
un=223−6n1+253n−2n2+1+1n+4n2u_n=\frac{\dfrac{22}{3}-\dfrac{6}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}}}

lim⁡n→+∞223−6n=223lim⁡n→+∞1+253n−2n2+1+1n+4n2=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{22}{3}-\dfrac{6}{n} } & {=} & {\dfrac{22}{3} } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{1+\dfrac{25}{3n}-\dfrac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{4}{n^2}} } & {=} & {2 } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
lim⁡n→+∞n2+253n−2−n2+n+4=113{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+\dfrac{25}{3}n-2}-\sqrt{n^2+n+4}=\dfrac{11}{3}

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