Un peu plus dur...Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Exercice 1

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+5}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$ $$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{n+9} -\sqrt{n+5}$$ qui est $$\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5}$$. Cela nous donne donc : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} \right)\left(\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} \right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }$$ .
Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} \right)^{2} -\left(\sqrt{n+5} \right)^{2} }{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-\left(n+5\right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-n-5}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4 } & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5}=0$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+15}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$ $$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{n+9} -\sqrt{n+15}$$ qui est $$\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15}$$. Cela nous donne donc : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} \right)\left(\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} \right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }$$ .
Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} \right)^{2} -\left(\sqrt{n+15} \right)^{2} }{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-\left(n+15\right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-n-15}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-6}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -6 } & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15}=0$$

$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+8} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+11}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ nous rencontrons une forme indéterminée de la forme $$+\infty -\infty$$ $$\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}$$, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de $$\sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11}$$ qui est $$\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11}$$. Cela nous donne donc : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} \right)\left(\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} \right)}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }$$ .
Apparaît ici l'identité remarquable $$\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}$$ .
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n^2+8} \right)^{2} -\left(\sqrt{n^2+11} \right)^{2} }{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2+8-\left(n^2+11\right)}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2+8-n^2-11}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }$$
$${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-3}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3 } & {=} & {-3 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par quotient}}$$
Finalement : $${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11}=0$$