Un peu plus dur...Lever une forme indéterminée à l'aide de la multiplication par le conjugué - Suites et récurrence - Enseignement de spécialité

Question 1

Calculer ${\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5}$

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+5}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

+\infty -\infty

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ , il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué $\sqrt{a} +\sqrt{b}$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} }$ .

\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}

, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de

\sqrt{n+9} -\sqrt{n+5}

qui est

\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5}

. Cela nous donne donc :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} \right)\left(\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} \right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }

.
Apparaît ici l'identité remarquable

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}

.

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} \right)^{2} -\left(\sqrt{n+5} \right)^{2} }{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-\left(n+5\right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-n-5}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4 } & {=} & {4 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient}}

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{4}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+5} }=0

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+5}=0

Si on rencontre une forme

\frac{Nombre}{\infty }

alors la limite sera égale à zéro.

Question 2

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+15}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

+\infty -\infty

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ , il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué $\sqrt{a} +\sqrt{b}$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} }$ .

\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}

, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de

\sqrt{n+9} -\sqrt{n+15}

qui est

\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15}

. Cela nous donne donc :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} \right)\left(\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} \right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }

.
Apparaît ici l'identité remarquable

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}

.

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n+9} \right)^{2} -\left(\sqrt{n+15} \right)^{2} }{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-\left(n+15\right)}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+9-n-15}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-6}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -6 } & {=} & {-6 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient}}

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-6}{\sqrt{n+9} +\sqrt{n+15} }=0

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n+9} -\sqrt{n+15}=0

Si on rencontre une forme

\frac{Nombre}{\infty }

alors la limite sera égale à zéro.

Question 3

Correction

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+8} } & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+11}} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

nous rencontrons une forme indéterminée de la forme

+\infty -\infty

Lorsque l'on rencontre une limite avec une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b}$ , il faut penser à multiplier et à diviser par le conjugué $\sqrt{a} +\sqrt{b}$ afin d'obtenir une forme $\sqrt{a} -\sqrt{b} =\frac{\left(\sqrt{a} -\sqrt{b} \right)\left(\sqrt{a} +\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a} +\sqrt{b} }$ .

\red{\text{Pour relever ce type d'indétermination}}

, il faut multiplier et diviser l'expression par le conjugué de

\sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11}

qui est

\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11}

. Cela nous donne donc :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} \right)\left(\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} \right)}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }

.
Apparaît ici l'identité remarquable

\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2} -b^{2}

.

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{\left(\sqrt{n^2+8} \right)^{2} -\left(\sqrt{n^2+11} \right)^{2} }{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2+8-\left(n^2+11\right)}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n^2+8-n^2-11}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-3}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }

\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3 } & {=} & {-3 } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } \sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} } & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}

\text{\red{par quotient}}

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{-3}{\sqrt{n^2+8} +\sqrt{n^2+11} }=0

Finalement :

{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \sqrt{n^2+8} -\sqrt{n^2+11}=0

Si on rencontre une forme

\frac{Nombre}{\infty }

alors la limite sera égale à zéro.