Trois questions issues du sujet Centres Étrangers 10 Juin 2026 - Exercice 1

Pour tout entier naturel $$n$$ : $$-1\leqslant \sin(n)\leqslant 1$$, donc :
$$2n-1\leqslant 2n+\sin(n)\leqslant 2n+1$$
En divisant par $$n+1\gt 0$$ (le sens des inégalités est conservé) :
$$\dfrac{2n-1}{n+1}\leqslant v_n\leqslant \dfrac{2n+1}{n+1}$$
$$\red{\text{Limites des suites qui encadrent :}}$$
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, en factorisant par $$n$$ au numérateur et au dénominateur :
$$\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{n\left(2-\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}=\dfrac{2-\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}$$ et $$\dfrac{2n+1}{n+1}=\dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n}}$$
Or $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0$$, donc $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n-1}{n+1}=\dfrac{2}{1}=2$$ et $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2n+1}{n+1}=2$$.
D'après le théorème des gendarmes : $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}v_n=2$$.

Calculons les premiers termes de la suite :
Démontrons l'affirmation par récurrence.
Pour tout entier naturel $$n\geqslant 1$$, posons la propriété $$P_{n} : u_n=n^{2}$$
$$\purple{\text{Étape d'initialisation}}$$
On a : $$u_1=1$$ et $$1^{2}=1$$.
La propriété $$P_{1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Étape d'hérédité}}$$
Supposons que $$P_{k}$$ est vraie pour un entier $$k\geqslant 1$$ fixé c'est-à-dire $$u_{k}=k^{2}$$. Montrons alors que $$P_{k+1}$$ est vraie c'est-à-dire $$u_{k+1}=\left(k+1\right)^{2}$$.
$$u_{k+1}=u_{k}+2k+1$$
Par hypothèse de récurrence, $$u_{k}=k^{2}$$, il vient alors que :
$$u_{k+1}=\red{k^{2}}+2k+1$$
$$u_{k+1}=\left(k+1\right)^{2}$$ (identité remarquable $$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$)
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
$$\purple{\text{Conclusion}}$$
Puisque la propriété $$P_{1}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n\geqslant 1$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est-à-dire : $$u_n=n^{2}$$.

Pour tout entier naturel $$n$$ : $$u_n=\mathrm{e}^{-n}=\left(\mathrm{e}^{-1}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n}$$.
La suite $$\left(u_n\right)$$ est donc géométrique de premier terme $$u_0=1$$ et de raison $$\red{q=\dfrac{1}{\mathrm{e}}}$$.
$$\red{q=\dfrac{1}{\mathrm{e}}}\neq 1$$, ainsi :
$$S_n=1+\dfrac{1}{\mathrm{e}}+\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{2}+\cdots+\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}$$
Or $$0\lt \dfrac{1}{\mathrm{e}}\lt 1$$, donc $$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)^{n+1}=0$$.
Il vient alors que :
$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{1-0}{1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}}$$
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $$\mathrm{e}$$ :
$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$$