Théorème des gendarmes - Exercice 4

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n}\le 1$$ équivaut successivement à :
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } \le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } \le \frac{1}{\sqrt{n} }$$ . Nous avons divisé par $$\sqrt{n}$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1}{\sqrt{n} } +19\le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +19\le \frac{1}{\sqrt{n} } +19$$
Ainsi : $$\frac{-1}{\sqrt{n} } +19\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +19$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 19} & {=} & {19} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
$$\text{\blue{Dans un second temps :}}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 19} & {=} & {19} \end{array}\right\}$$ $$\text{\red{par somme}}$$
Nous savons que : $$\frac{-1}{\sqrt{n} } +19\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +19$$
D'après le théorème des gendarmes