Suites et récurrence

Théorème des gendarmes - Exercice 3

12 min
30
Question 1
Soit la suite (un)(u_{n} ) définie pour tout entier naturel n2n\ge 2 par un=3+nn2+(1)nu_{n} =3+\frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} }

Montrer que pour tout entier naturel n2n\ge 2 nous avons : nn2+1un3nn21\frac{n}{n^{2} +1} \le u_{n} -3\le \frac{n}{n^{2} -1} .

Correction
Pour tout entier naturel n2n\ge 2, on a :
1(1)n1-1\le (-1)^{n} \le 1 équivaut successivement à :
n21n2+(1)nn2+1n^{2} -1\le n^{2} +(-1)^{n} \le n^{2} +1 , nous allons composer par la fonction inverse qui ne conserve pas l'ordre de l'inégalité
1n211n2+(1)n1n2+1\frac{1}{n^{2} -1} \ge \frac{1}{n^{2} +(-1)^{n} } \ge \frac{1}{n^{2} +1}
1n2+11n2+(1)n1n21\frac{1}{n^{2} +1} \le \frac{1}{n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{1}{n^{2} -1} , on multiplie par nn ensuite,
nn2+1nn2+(1)nnn21\frac{n}{n^{2} +1} \le \frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} } \le \frac{n}{n^{2} -1} , on rajoute 33 à chaque membre
nn2+1+3nn2+(1)n+3nn21+3\frac{n}{n^{2} +1} +3\le \frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} } +3\le \frac{n}{n^{2} -1} +3
nn2+1+3unnn21+3\frac{n}{n^{2} +1} +3\le u_{n} \le \frac{n}{n^{2} -1} +3, on finit par soustraire 33 à chaque membre
Ainsi :
nn2+1un3nn21\frac{n}{n^{2} +1} \le u_{n} -3\le \frac{n}{n^{2} -1}

Question 2

En déduire la limite de la suite (un)(u_{n} )

Correction
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}} Calculonslimn+nn2+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} .
limn+n=+limn+n2+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2}+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n2\red{n^{2}}
limn+nn2+1=limn+nn2(1+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} \left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}
limn+nn2+1=limn+1n(1+1n2)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)}
limn+1=1limn+n(1+1n2)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}} limn+1n(1+1n2)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n\left(1+\frac{1}{n^{2} } \right)} =0
Finalement : limn+nn2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} +1} =0
Dans un deuxieˋme temps :\text{\blue{Dans un deuxième temps :}} On effectue la même démarche pour calculer limn+nn21\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} -1} et on obtiendra limn+nn21=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n}{n^{2} -1} =0
Il vient alors que d'après le théorème des gendarmes limn+un3=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} -3=0
On peut en conclure que
limn+un=3\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =3