Suites et récurrence

Théorème des gendarmes - Exercice 2

20 min
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Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
Question 1

un=5+(1)nnu_{n} =\frac{5+\left(-1\right)^{n}}{n}

Correction
Pour tout entier naturel nn non nul, on sait que :
1(1)n1-1\le \left(-1\right)^{n}\le 1 équivaut successivement à :
1+55+(1)n5+1-1+5\le 5+\left(-1\right)^{n}\le 5+1
45+cos(n)64\le 5+\cos \left(n\right)\le 6 , on va ensuite diviser par nn qui est strictement positif
4n5+(1)nn6n\frac{4}{n} \le \frac{5+\left(-1\right)^{n}}{n} \le \frac{6}{n}
4nun6n\frac{4}{n} \le u_{n} \le \frac{6}{n}
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
limn+4=4limn+n=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 4 } & {=} & {4} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
limn+4n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{4}{n}=0

Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
limn+6=6limn+n=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
limn+6n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n}=0

Nous savons que : 4nun6n\frac{4}{n} \le u_{n} \le \frac{6}{n}
D'après le théorème des gendarmes
limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 2

un=2+(1)nn2+1u_{n} =\frac{2+\left(-1\right)^{n}}{n^{2} +1}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on sait que :
1(1)n1-1\le \left(-1\right)^{n}\le 1 équivaut successivement à :
1+22+(1)n1+2-1+2\le 2+\left(-1\right)^{n}\le 1+2
12+(1)n31\le 2+\left(-1\right)^{n}\le 3 , on va ensuite diviser par n2+1n^{2} +1 qui est strictement positif
1n2+12+(1)nn2+13n2+1,\frac{-1}{n^{2} +1} \le \frac{ 2+\left(-1\right)^{n}}{n^{2} +1} \le \frac{3}{n^{2} +1} ,
1n2+1un3n2+1\frac{-1}{n^{2} +1} \le u_{n} \le \frac{3}{n^{2} +1}
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
limn+1=1limn+n2+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1 } & {=} & {-1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
limn+1n2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n^{2} +1}=0

Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
limn+3=3limn+n2+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3} & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +1} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
limn+3n2+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n^{2} +1}=0

Nous savons que : 1n2+1un3n2+1\frac{-1}{n^{2} +1} \le u_{n} \le \frac{3}{n^{2} +1}
D'après le théorème des gendarmes
limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 3

un=(1)nn+1u_{n} =\frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +1

Correction
Pour tout entier naturel nn non nul, on sait que :
1(1)n1-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1 , on va ensuite diviser par n\sqrt{n} qui est strictement positif
1n(1)nn1n\frac{-1}{\sqrt{n} } \le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } \le \frac{1}{\sqrt{n} }
1n+1(1)nn+11n+1\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le \frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +1\le \frac{1}{\sqrt{n} } +1
1n+1un1n+1\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +1
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
limn+1n=0limn+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
limn+1n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{\sqrt{n} } +1=1

Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
limn+1n=0limn+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n} } } & {=} & {0} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1} & {=} & {1} \end{array}\right\} par somme\text{\red{par somme}}
limn+1n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{\sqrt{n} } +1=1

Nous savons que : 1n+1un1n+1\frac{-1}{\sqrt{n} } +1\le u_{n} \le \frac{1}{\sqrt{n} } +1
D'après le théorème des gendarmes
limn+un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
Question 4

un=sin(n)+n2n+1u_{n} =\frac{\sin \left(n\right)+n}{2n+1}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on sait que :
1sin(n)1-1\le \sin \left(n\right)\le 1 équivaut successivement à :
1+nsin(n)+n1+n-1+n\le \sin \left(n\right)+n\le 1+n, on va ensuite diviser par 2n+12n+1 qui est strictement positif
1+n2n+1sin(n)+n2n+11+n2n+1\frac{-1+n}{2n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)+n}{2n+1} \le \frac{1+n}{2n+1}
1+n2n+1un1+n2n+1\frac{-1+n}{2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{2n+1}
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
limn+1+n=+limn+2n+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}
Il vient alors que :
limn+1+n2n+1=limn+n(1+nn)n(2n+1n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n \left(\frac{2n+1}{n } \right)}
limn+1+n2n+1=limn+n(1n+nn)n(2nn+1n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n\left(\frac{2n}{n} +\frac{1}{n} \right)}
limn+1+n2n+1=limn+n(1n+1)n(2+1n)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n\left(2+\frac{1}{n} \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn .
limn+1+n2n+1=limn+1n+12+1n\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n } }
limn+1n+1=1limn+2+1n=2}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n} } & {=} & {2} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}} limn+1n+12+1n=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{2+\frac{1}{n} } =\frac{1}{2}
Finalement : limn+1+n2n+1=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}
Dans un deuxieˋme temps :\text{\blue{Dans un deuxième temps :}} On effectue la même démarche pour calculer limn+1+n2n+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1} et on obtiendra limn+1+n2n+1=12\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{2n+1} =\frac{1}{2}
En définitive, d'après le théorème des gendarmes
limn+un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{1}{2}
Question 5

un=cos(n)+nn3+2n+1u_{n} =\frac{\cos \left(n\right)+n}{n^{3} +2n+1}

Correction
Pour tout entier naturel nn, on sait que :
1cos(n)1-1\le \cos \left(n\right)\le 1 équivaut successivement à :
1+ncos(n)+n1+n-1+n\le \cos \left(n\right)+n\le 1+n, on va ensuite diviser par n3+2n+1n^{3} +2n+1 qui est strictement positif
1+nn3+2n+1cos(n)+nn3+2n+11+nn3+2n+1\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{\cos \left(n\right)+n}{n^{3} +2n+1} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}
1+nn3+2n+1un1+nn3+2n+1\frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n}{n^{3} +2n+1}
Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}} Calculons limn+1+nn3+2n+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} .
limn+1+n=+limn+n+1=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+n} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée \frac{\infty }{\infty }
 On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n3\red{n^{3}}
Il vient alors que :
limn+1+nn3+2n+1=limn+n(1+nn)n3(n3+2n+1n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1+n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} +2n+1}{n^{3} } \right)}
limn+1+nn3+2n+1=limn+n(1n+nn)n3(n3n3+2nn3+1n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +\frac{n}{n} \right)}{n^{3} \left(\frac{n^{3} }{n^{3} } +\frac{2n}{n^{3} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}
limn+1+nn3+2n+1=limn+n(1n+1)n3(1+2n2+1n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(-\frac{1}{n} +1\right)}{n^{3} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} . Nous allons maintenant simplifier le numérateur et le dénominateur par nn .
limn+1+nn3+2n+1=limn+1n+1n2(1+2n2+1n3)\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)}
limn+1n+1=1limn+n2(1+2n2+1n3)=+}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n} +1} & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}} limn+1n+1n2(1+2n2+1n3)=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{\frac{-1}{n} +1}{n^{2} \left(1+\frac{2}{n^{2} } +\frac{1}{n^{3} } \right)} =0
Finalement : limn+1+nn3+2n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n}{n^{3} +2n+1} =0
Dans un deuxieˋme temps :\text{\blue{Dans un deuxième temps :}} On effectue la même démarche pour calculer limn+1+nn3+2n+1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1} et on obtiendra limn+1+nn3+2n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n}{n^{3} +2n+1} =0
D'après le théorème des gendarmes
limn+un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
Question 6

un=2+sin(n)n+1u_{n} =2+\frac{\sin \left(n\right)}{n+1}

Correction
Pour tout entier naturel nn non nul, on sait que :
1sin(n)1-1\le \sin \left(n\right)\le 1 équivaut successivement à :
1n+1sin(n)n+11n+1\frac{-1}{n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le \frac{1}{n+1} . On divise par n+1n+1 qui est positif donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
2+1n+12+sin(n)n+12+1n+12+\frac{-1}{n+1} \le 2+\frac{\sin \left(n\right)}{n+1} \le2+\frac{1}{n+1}
2+1n+1un2+1n+12+\frac{-1}{n+1} \le u_{n} \le2+\frac{1}{n+1}
D’une part :\text{\blue{D'une part :}} limn+2+1n+1=2\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{-1}{n+1} =2 car limn+1n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1}{n+1} =0
D’autre part :\text{\blue{D'autre part :}} limn+2+1n+1=2\lim\limits_{n\to +\infty } 2+\frac{1}{n+1} =2 car limn+1n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1}{n+1} =0
D'après le théorème des gendarmes
limn+un=2\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =2
Si on rencontre une forme Nombre\frac{Nombre}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.