Suites et récurrence

Théorème des gendarmes

Exercice 1

1

Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : 3n+4un2n+4\frac{3}{n} +4\le u_{n} \le \frac{2}{n} +4 . Déterminer limn+un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

Correction
2

Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : 6n+3un6n+2\frac{6}{n+3} \le u_{n} \le \frac{6}{n+2} . Déterminer limn+un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

Correction
3

Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : n2n+1unn+5n+1\frac{n-2}{n+1} \le u_{n} \le \frac{n+5}{n+1} . Déterminer limn+un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

Correction

Exercice 2

Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
1

un=5+(1)nnu_{n} =\frac{5+\left(-1\right)^{n}}{n}

Correction
2

un=2+(1)nn2+1u_{n} =\frac{-2+\left(-1\right)^{n}}{n^{2} +1}

Correction
3

un=(1)nn+1u_{n} =\frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} } +1

Correction
4

un=sin(n)+n2n+1u_{n} =\frac{\sin \left(n\right)+n}{2n+1}

Correction
5

un=cos(n)+nn3+2n+1u_{n} =\frac{\cos \left(n\right)+n}{n^{3} +2n+1}

Correction
6

un=2+sin(n)n+1u_{n} =2+\frac{\sin \left(n\right)}{n+1}

Correction

Exercice 3

Soit la suite (un)(u_{n} ) définie pour tout entier naturel n2n\ge 2 par un=3+nn2+(1)nu_{n} =3+\frac{n}{n^{2} +(-1)^{n} }
1

Montrer que pour tout entier naturel n2n\ge 2 nous avons : nn2+1un3nn21\frac{n}{n^{2} +1} \le u_{n} -3\le \frac{n}{n^{2} -1} .

Correction
2

En déduire la limite de la suite (un)(u_{n} )

Correction

Exercice 4

Déterminer les limites des suites (un)(u_{n} ) suivantes :
1

un=19+(1)nnu_{n} =19+\frac{\left(-1\right)^{n} }{\sqrt{n} }nn est un entier naturel non nul.

Correction
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