Suites et récurrence

Théorème des gendarmes - Exercice 1

10 min
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Question 1

Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : 3n+4≤un≤2n+4\frac{3}{n} +4\le u_{n} \le \frac{2}{n} +4 . Déterminer lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
    lim⁡n→+∞3=3lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 3 } & {=} & {3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞3n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n}=0

    Ainsi : lim⁡n→+∞3n+4=4\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{3}{n}+4=4
    Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
    lim⁡n→+∞2=2lim⁡n→+∞n=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 2 } & {=} & {2} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞2n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}=0

    Ainsi : lim⁡n→+∞2n+4=4\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{2}{n}+4=4
    Nous savons que : 3n+4≤un≤2n+4\frac{3}{n} +4\le u_{n} \le \frac{2}{n} +4
    D'après le théorème des gendarmes lim⁡n→+∞un=4\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =4
    Question 2

    Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : 6n+3≤un≤6n+2\frac{6}{n+3} \le u_{n} \le \frac{6}{n+2} . Déterminer lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

    Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
    lim⁡n→+∞6=6lim⁡n→+∞n+3=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+3} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞6n+3=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n+3}=0

    Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
    lim⁡n→+∞6=6lim⁡n→+∞n+2=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 6 } & {=} & {6} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+2} & {=} & {+\infty} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞6n+2=0\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{6}{n+2}=0

    Nous savons que : 6n+3≤un≤6n+2\frac{6}{n+3} \le u_{n} \le \frac{6}{n+2}
    D'après le théorème des gendarmes lim⁡n→+∞un=0\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =0
    Question 3

    Pour tout entier naturel, la suite (un)\left(u_{n}\right) est telle que : n−2n+1≤un≤n+5n+1\frac{n-2}{n+1} \le u_{n} \le \frac{n+5}{n+1} . Déterminer lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} .

    Correction
  • Si on rencontre une forme Nombre∞\frac{\text{Nombre}}{\infty } alors la limite sera égale à zéro.
    • Dans un premier temps :\text{\blue{Dans un premier temps :}}
    lim⁡n→+∞n−2=+∞lim⁡n→+∞n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n-2} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
     On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞n−2n+1=lim⁡n→+∞n(n−2n)n(n+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n-2}{n} \right)}{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n−2n+1=lim⁡n→+∞n(nn−2n)n(nn+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} -\frac{2}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n−2n+1=lim⁡n→+∞n(1−2n)n(1+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1-\frac{2}{n} \right)}{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n−2n+1=lim⁡n→+∞1−2n1+1n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1-\frac{2}{n} }{1+\frac{1}{n} }
    lim⁡n→+∞1−2n=1lim⁡n→+∞1+1n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\frac{2}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞1−2n1+1n=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1-\frac{2}{n} }{1+\frac{1}{n} }=1

    Ainsi : lim⁡n→+∞n−2n+1=1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n-2}{n+1}=1
    Dans un second temps :\text{\blue{Dans un second temps :}}
    lim⁡n→+∞n+5=+∞lim⁡n→+∞n+1=+∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n+5} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\} on obtient une forme indéterminée ∞∞\frac{\infty }{\infty }
     On va factoriser le numeˊrateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}  et le deˊnominateur par le monoˆme de plus haut degreˊ c’est aˋ dire par \red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }} n\red{n}
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞n+5n+1=lim⁡n→+∞n(n+5n)n(n+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n+5}{n} \right)}{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n+5n+1=lim⁡n→+∞n(nn+5n)n(nn+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(\frac{n}{n} +\frac{5}{n} \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n+5n+1=lim⁡n→+∞n(1+5n)n(1+1n){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n\left(1+\frac{5}{n} \right)}{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}
    lim⁡n→+∞n+5n+1=lim⁡n→+∞1+5n1+1n{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{1+\frac{5}{n} }{1+\frac{1}{n} }
    lim⁡n→+∞1+5n=1lim⁡n→+∞1+1n=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{5}{n} } & {=} & {1} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par quotient\text{\red{par quotient}}
    lim⁡n→+∞1+5n1+1n=1\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+\frac{5}{n} }{1+\frac{1}{n} }=1

    Ainsi : lim⁡n→+∞n+5n+1=1{\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} \frac{n+5}{n+1}=1
    Nous savons que : n−2n+1≤un≤n+5n+1\frac{n-2}{n+1} \le u_{n} \le \frac{n+5}{n+1}
    D'après le théorème des gendarmes lim⁡n→+∞un=1\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1