Pour tout entier naturel
n, posons la propriété
Pn:un>n2Etape d'initialisationOn sait que
u0=1 et que
u0>02 .
La propriété
P0 est vraie.
Etape d'héréditéOn suppose qu'il existe un entier
k tel que la propriété
Pk soit vraie c'est-à-dire
uk>k2 et vérifions si la propriété est également vraie au rang
k+1 c'est-à-dire
uk+1>(k+1)2Par hypothèse de récurrence :
uk>k2 , on rajoute
2k+3 de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaitre dans le membre de gauche
uk+1)
uk+2k+3>k2+2k+3Ainsi :
uk+1>(k2+2k+1)+2 . Or
k2+2k+1=(k+1)2D'où :
uk+1>(k+1)2+2. On peut alors écrire que :
uk+1>(k+1)2+2>(k+1)2D'où :
uk+1>(k+1)2.
Ainsi la propriété
Pk+1 est vraie.
ConclusionPuisque la propriété
P0 est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel
n, on a
Pn vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel
n, on a bien
un>n2 .