Théorème de comparaison - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n+2\le \left(-1\right)^{n} +n+2\le 1+n+2$$
$$n+1\le u_{n} \le n+3$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } n+1=+\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } n+3=+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$n+1\le u_{n}$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } n+1=+\infty$$ et $$u_{n} \ge n+1$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \cos \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1-2n\le \cos \left(n\right)-2n\le 1-2n$$
$$-1-2n\le u_{n} \le 1-2n$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } -1-2n=-\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-2n=-\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de droite, ce qui donne : $$u_{n} \le 1-2n$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-2n=-\infty$$ et $$u_{n} \le 1-2n$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \sin \left(n\right)\le 1$$ équivaut successivement à :
$$-1+n^{2}\le \sin \left(n\right)+n^{2} \le 1+n^{2}$$ , on va ensuite diviser par $$n+1$$ qui est strictement positif
$$\frac{-1+n^{2} }{n+1} \le \frac{\sin \left(n\right)+n^{2} }{n+1} \le \frac{1+n^{2} }{n+1}$$
$$\frac{-1+n^{2} }{n+1} \le u_{n} \le \frac{1+n^{2} }{n+1}$$
$$\text{\blue{Dans un premier temps :}}$$ Calculons $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1}$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -1+n^{2}} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } n+1} & {=} & {+\infty } \end{array}\right\}$$ on obtient une forme indéterminée $$\frac{\infty }{\infty }$$
$$\red{\text{On va factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n^2}$$ $$\red{\text{ et le dénominateur par le monôme de plus haut degré c'est à dire par }}$$ $$\red{n}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(\frac{-1+n^{2} }{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n+1}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(-\frac{1}{n^{2} } +\frac{n^{2} }{n^{2} } \right)}{n\left(\frac{n}{n} +\frac{1}{n} \right)}$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty } \frac{n^{2} \left(-\frac{1}{n^{2} } +1\right)}{n\left(1+\frac{1}{n} \right)}$$ . Nous allons simplifier le numérateur et le dénominateur par $$n$$ .
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1}{n^{2} } +1\right)}{1+\frac{1}{n} }$$
$$\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } n\left(\frac{-1}{n^{2} } +1\right)} & {=} & {+\infty } \\ {\lim\limits_{n\to +\infty } 1+\frac{1}{n} } & {=} & {1} \end{array}\right\}$$ $$\red{\text{par quotient}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{n\left(\frac{-1}{n^{2} } +1\right)}{1+\frac{1}{n} } =+\infty$$
Finalement : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =+\infty$$
$$\text{\blue{Dans un deuxième temps :}}$$ nous effectuons les mêmes étapes pour calculer $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n^{2} }{n+1}$$, nous obtiendrons $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{1+n^{2} }{n+1} =+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$\frac{-1+n^{2} }{n+1} \le u_{n}$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } \frac{-1+n^{2} }{n+1} =+\infty$$ et $$u_{n} \ge \frac{-1+n^{2} }{n+1}$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout entier naturel $$n$$, on sait que :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$ équivaut successivement à :
$$-n\le \left(-1\right)^{n} n \le n$$
$$n^{2} -n\le n^{2} +\left(-1\right)^{n} n \le n^{2} +n$$
$$n^{2} -n\le u_n \le n^{2} +n$$
Or : $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} -n =+\infty$$ et $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} +n =+\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de gauche, ce qui donne : $$n^{2} -n \le u_{n}$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty } n^{2} -n =+\infty$$ et $$u_{n} \ge n^{2} -n$$ alors d'après le théorème de comparaison

Pour tout entier naturel $$n$$, on a :
$$-1\le \left(-1\right)^{n} \le 1$$
$$1\ge -\left(-1\right)^{n} \ge -1$$ . Nous avons multiplié par $$-1$$ donc l'ordre n'est pas conservé.
$$-1\le -\left(-1\right)^{n} \le 1$$
$$-2n-1\le -2n-\left(-1\right)^{n} \le -2n+1$$
$$-2n-1\le u_{n} \le -2n+1$$
$$\red{\text{D'une part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty }-2n-1=-\infty$$
$$\red{\text{D'autre part :}}$$ $$\lim\limits_{n\to +\infty } -2n+1=-\infty$$
Attention, ici on n'applique pas le théorème des gendarmes car les limites ne sont pas des valeurs finies.
On va garder l'inégalité de droite, ce qui donne : $$u_{n}\le -2n+1$$
Comme $$\lim\limits_{n\to +\infty }-2n+1=-\infty$$ et $$u_{n}\le -2n+1$$ alors d'après le théorème de comparaison