Suites et récurrence

Somme des termes d'une suite et limites - Exercice 4

6 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison 54\frac{5}{4} et de premier terme u0=−6u_{0}=-6
Question 1

Déterminer la limite de la somme des n+1n+1 termes de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison 54\frac{5}{4} et de premier terme u0=−6u_{0} =-6.
Pour avoir n+1n+1 termes, il nous faut partir de u0 u_{0} jusqu'à un u_{n}.
On applique la formule :
S=u0+u1+…+unS=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} équivaut successivement à :
S=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
S=u0×(1−qn+11−q)S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)
S=−6×(1−(54)n+11−54)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} }{1-\frac{5}{4} } \right)
S=−6×(1−(54)n+144−54)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} }{\frac{4}{4}-\frac{5}{4} } \right)
S=−6×(1−(54)n+1−14)S=-6\times \left(\frac{1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} }{-\frac{1}{4} } \right)
S=−6×(−41)(1−(54)n+1)S=-6\times \left(-\frac{4}{1}\right) \left(1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} \right)
Ainsi :
S=24(1−(54)n+1)S=24\left(1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} \right)
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • lim⁡n→+∞S=lim⁡n→+∞24(1−(54)n+1){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} 24 \left(1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} \right)
    • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme 54>1\frac{5}{4}>1 alors :
    lim⁡n→+∞(54)n+1=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} =+\infty
    lim⁡n→+∞−(54)n+1=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } -\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} =-\infty
    lim⁡n→+∞1−(54)n+1=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} =-\infty
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞24=24lim⁡n→+∞1−(54)n+1=−∞}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } 24} & {=} & {24} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1}} & {=} & {-\infty} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡n→+∞24(1−(54)n+1)=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } 24 \left(1-\left(\frac{5}{4} \right)^{n+1} \right)=-\infty

    Ainsi :
    lim⁡n→+∞S=−∞\lim\limits_{n\to +\infty } S =-\infty