Suites et récurrence

Somme des termes d'une suite et limites - Exercice 3

6 min
20
Soit (un)\left(u_{n} \right) une suite géométrique de raison 13\frac{1}{3} et de premier terme u0=−2u_{0}=-2
Question 1

Déterminer la limite de la somme des n+1n+1 termes de la suite (un)\left(u_{n} \right) .

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
On sait que (un)\left(u_{n} \right) est une suite géométrique de raison q=13q=\frac{1}{3} et de premier terme u0=−2u_{0} =-2.
Pour avoir n+1n+1 termes, il nous faut partir de u0 u_{0} jusqu'à un u_{n}.
On applique la formule :
S=u0+u1+…+unS=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} équivaut successivement à :
S=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)S=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
S=u0×(1−qn+11−q)S=u_{0} \times \left(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} \right)
S=−2×(1−(13)n+11−13)S=-2\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{3} } \right)
S=−2×(1−(13)n+123)S=-2\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} }{\frac{2}{3} } \right)
S=−2×32(1−(13)n+1)S=-2\times \frac{3}{2} \left(1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right)
Ainsi :
S=−3(1−(13)n+1)S=-3 \left(1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right)
Pour savoir le nombre de termes présents dans une somme, faites le calcul suivant : grand indice−petit indice+1\text{grand indice} - \text{petit indice} +1
  • La somme S=u0+u1+u2+…+unS=u_{0} +u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend n+1n+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 00. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−0+1=n+1n-0+1=n+1. Nous avons donc n+1n+1 termes.
  • La somme S=u1+u2+…+unS=u_{1} +u_{2} +\ldots +u_{n} comprend nn termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est 11. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−1+1=nn-1+1=n. Nous avons donc nn termes.
  • La somme S=up+up+1+…+unS=u_{p} +u_{p+1} +\ldots +u_{n} comprend n−p+1n-p+1 termes. Ici le plus grand indice est nn , le plus petit indice est pp. Ainsi le nombre de termes est égale à : n−p+1=nn-p+1=n. Nous avons donc n−p+1n-p+1 termes.
  • La somme S=u5+u6+…+u22S=u_{5} +u_{6} +\ldots +u_{22} comprend 1818 termes. Ici le plus grand indice est 2222 , le plus petit indice est 55. Ainsi le nombre de termes est égale à : 22−5+1=1822-5+1=18. Nous avons donc 1818 termes.
    • lim⁡n→+∞S=lim⁡n→+∞−3(1−(13)n+1){\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} S={\mathop{\lim }\limits_{n\to +\infty }} -3 \left(1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right)
    • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
    • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
    Comme −1<13<1-1<\frac{1}{3}<1 alors :
    lim⁡n→+∞(13)n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} =0
    lim⁡n→+∞−(13)n+1=0\lim\limits_{n\to +\infty } -\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} =0
    lim⁡n→+∞1−(13)n+1=1\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} =1
    Il vient alors que :
    lim⁡n→+∞−3=−3lim⁡n→+∞1−(13)n+1=1}\left. \begin{array}{ccc} {\lim\limits_{n\to +\infty } -3} & {=} & {-3} \\ {\lim\limits_{n\to +\infty }1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1}} & {=} & {1} \end{array}\right\} par produit\text{\red{par produit}}
    lim⁡n→+∞−3(1−(13)n+1)=−3\lim\limits_{n\to +\infty } -3 \left(1-\left(\frac{1}{3} \right)^{n+1} \right)=-3

    Ainsi :
    lim⁡n→+∞S=−3\lim\limits_{n\to +\infty } S =-3