Somme des termes d'une suite et limites - Exercice 1

Nous savons que :
$$S_{n} =1+\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\ldots +\frac{1}{2^{n} }$$ mais nous pouvons l'écrire comme suit :
$$S_{n} =\left(\frac{1}{2} \right)^{0} +\left(\frac{1}{2} \right)^{1} +\left(\frac{1}{2} \right)^{2} +\left(\frac{1}{2} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{2} \right)^{n}$$
On reconnait donc la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{2}$$ et de premier terme $$\left(\frac{1}{2} \right)^{0}=1$$.
Ainsi :
$$S_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)$$
$$S_{n} =1\times \left(\frac{1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{1-\frac{1}{2} } \right)$$ . Il y a $$n+1$$ termes car nous calculons de $$\left(\frac{1}{2} \right)^{0}$$ à $$\left(\frac{1}{2} \right)^{n}$$ .
$$S_{n} =\frac{1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} }{\frac{1}{2} }$$
Ainsi : $$S_{n} =2\times \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} \right)$$
Comme $$-1<\frac{1}{2}<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} =1$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 2\times \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n+1} \right)=2$$
Ainsi :