Pour bien démarrer les révisions aux DS - Exercice 2

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} =5\times 2^{n}-4$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =1$$ et que $$u_{0} =5\times 2^{0} -4=1$$ .
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} =5\times 2^{k}-4$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} =5\times 2^{k+1}-4$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} =5\times 2^{k}-4$$ , on multiplie par $$2$$ de part et d'autre de l'égalité
$$2\times u_{k} =2\times\left(5\times 2^{k}-4\right)$$
$$2\times u_{k} =2\times 5\times 2^{k} -4\times 2$$
$$2\times u_{k} =2\times 5\times 2^{k} -8$$ . Or : $$2^{k}\times2=2^{k+1}$$ . Ce qui nous donne :
$$2u_{k} =5\times 2^{k+1}-8$$ , on va maintenant additionner par $$4$$ de part et d'autre de l'égalité (notre objectif est de faire apparaître dans le membre de gauche $$u_{k+1}$$)
$$2u_{k} +4=5\times 2^{k+1}-8+4$$
$$2u_{k} +4=5\times 2^{k+1}-4$$
$$u_{k+1} =5\times 2^{k+1}-4$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :

Pour tout entier naturel $$n$$, posons la propriété $$P_{n} :u_{n} \le 18$$
Etape d'initialisation
On sait que $$u_{0} =14$$ ainsi $$u_{0} \le 18$$.
La propriété $$P_{0}$$ est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier $$k$$ tel que la propriété $$P_{k}$$ soit vraie c'est-à-dire $$u_{k} \le 18$$ et vérifions si la propriété est également vraie au rang $$k+1$$ c'est-à-dire $$u_{k+1} \le 18$$
Par hypothèse de récurrence :
$$u_{k} \le 18$$ , on multiplie $$\frac{2}{3}$$ de part et d'autre de l'inégalité
$$\frac{2}{3}u_{k} \le \frac{2}{3}\times18$$
$$\frac{2}{3}u_{k} \le 12$$
$$\frac{2}{3}u_{k}+6 \le 12+6$$
$$\frac{2}{3}u_{k}+6 \le 18$$
Il vient alors que :
$$u_{k+1} \le 18$$
Ainsi la propriété $$P_{k+1}$$ est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété $$P_{0}$$ est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel $$n$$, on a $$P_{n}$$ vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel $$n$$, on a bien :