Suites et récurrence

Pour bien démarrer les révisions aux DS - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=3000u_{0} =3000 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,95un+76u_{n+1} =0,95u_{n} +76

Démontrer que, pour tout entier naturel nn, on a : un1520u_{n}\ge1520.

Correction
Pour tout entier naturel nn, posons la propriété Pn:un1520P_{n} :u_{n}\ge1520 .
Etape d'initialisation
On sait que u0=3000u_{0} =3000 ainsi u01520u_{0} \ge1520.
La propriété P0P_{0} est vraie.
Etape d'hérédité
On suppose qu'il existe un entier kk tel que la propriété PkP_{k} soit vraie c'est-à-dire uk1520u_{k} \ge 1520 et vérifions si la propriété est également vraie au rang k+1k+1 c'est-à-dire uk+11520u_{k+1} \ge 1520
Par hypothèse de récurrence :
uk1520u_{k} \ge 1520 , on multiplie par 0,950,95 de part et d'autre de l'inégalité
0,95uk1520×0,950,95u_{k} \ge 1520\times0,95
0,95uk14440,95u_{k} \ge 1444
0,95uk+761444+760,95u_{k} +76\ge 1444+76
0,95uk+7615200,95u_{k} +76\ge 1520
uk+11520u_{k+1} \ge 1520
Ainsi la propriété Pk+1P_{k+1} est vraie.
Conclusion
Puisque la propriété P0P_{0} est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire, par le principe de récurrence que pour tout entier naturel nn, on a PnP_{n} vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel nn, on a bien :
un1520u_{n}\ge1520
Question 2

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.

Correction
Nous allons étudier le signe de un+1unu_{n+1}-u_{n}.
un+1un=0,95un+76unu_{n+1}-u_{n}=0,95u_{n} +76-u_{n}
un+1un=0,05un+76u_{n+1}-u_{n}=-0,05u_{n} +76 . Or d'après la question 11, nous savons que un1520u_{n}\ge1520.
Il vient alors que :
un1520u_{n}\ge1520 équivaut successivement à :
0,05×un0,05×1520-0,05\times u_{n}\le-0,05\times1520 . Nous avons multiplié par 0,05-0,05 qui est négatif, donc nous changeons le sens de l'inégalité.
0,05un76-0,05u_{n}\le-76
0,05un+760-0,05u_{n}+76\le0. Il en résulte donc que comme : un+1un=0,05un+76u_{n+1}-u_{n}=-0,05u_{n} +76 alors
un+1un0u_{n+1}-u_{n}\le0
.
La suite (un)\left(u_{n} \right) est bien décroissante.
Question 3

Justifier que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente. On ne demandera pas ici de déterminer la valeur de la limite.

Correction
  • Une suite décroissante et minorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
  • Une suite croissante et majorée est convergente, elle admet donc une limite finie.
On vient de démontrer que la suite (un)\left(u_{n} \right) était minorée par 15201520 car : un1520u_{n} \ge 1520 . De plus, la suite (un)\left(u_{n} \right) est décroissante.
D'après le théorème de convergence des suites monotones , on peut affirmer que la suite (un)\left(u_{n} \right) est convergente et admet donc une limite que l'on note ll.
Question 4
On désigne par (vn)\left(v_{n} \right) la suite définie par, pour tout entier naturel nn, on a : vn=un1520v_{n}=u_{n}-1520.

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction
vn=un1520v_{n}=u_{n}-1520
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+11520v_{n+1} =u_{n+1} -1520 . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,95un+76u_{n+1} =0,95u_{n} +76.
vn+1=0,95un+761520v_{n+1} =0,95u_{n} +76-1520
vn+1=0,95un1444v_{n+1} =0,95u_{n} -1444.
Or vn=un1520v_{n} =u_{n} -1520
Donc vn+1520=unv_{n} +1520=u_{n}
vn+1=0,95(vn+1520)1444v_{n+1} =0,95\left(v_{n} +1520\right)-1444
vn+1=0,95vn+0,95×15201444v_{n+1} =0,95v_{n} +0,95\times 1520-1444
vn+1=0,95vn+14441444v_{n+1} =0,95v_{n} +1444-1444
vn+1=0,95vnv_{n+1} =0,95v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,95q=0,95 et de premier terme v0=u01520=30001520v_{0} =u_{0} -1520=3000-1520 donc v0=1480v_{0} =1480
Question 5

En déduire que, pour tout entier naturel nn, on a : un=1480×0,95n+1520u_{n} =1480\times 0,95^{n} +1520

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Tout d'abord, nous allons exprimer vnv_{n} en fonction de nn .
Ainsi :
vn=1480×0,95nv_{n} =1480\times 0,95^{n}

On sait que vn=un1520v_{n} =u_{n} -1520 donc vn+1520=unv_{n} +1520=u_{n}
Il vient alors que :
un=1480×0,95n+1520u_{n} =1480\times 0,95^{n} +1520

Question 6

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Correction
  • Si 1<q<1-1<q<1 alors limn+qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors limn+qn=+\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 1<0,95<1-1<0,95<1 alors :
limn+(0,95)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,95\right)^{n} =0
limn+1480×(0,95)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 1480\times \left(0,95\right)^{n} =0
limn+1480×(0,95)n+1520=1520\lim\limits_{n\to +\infty } 1480\times \left(0,95\right)^{n} +1520=1520
Ainsi :
limn+un=1520\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1520