Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 7

$$\purple{\text{D'une part :}}$$

$$n$$ étant un entier naturel non nul, alors $$n\ge 1$$ . Ainsi l'expression $$\frac{2}{n^{2}}>0$$ et donc $$7+\frac{2}{n^{2}}>7$$ . On peut aussi dire que : $$7+\frac{2}{n^{2}}>0$$
La fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ étant strictement croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$, par composition, nous pouvons écrire que : $$\sqrt{7+\frac{2}{n^{2}}}> \sqrt{0}$$ et de ce fait $$u_n > 0$$ . La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est donc $$\blue{\text{minorée}}$$ par $$0$$

$$\purple{\text{D'autre part :}}$$

Nous savons que $$n\ge 1$$ , il s'ensuit que :
$$n^{2} \ge 1^{2}$$ $$\;\;$$ L'ordre est conservé car la fonction $$x\mapsto x^{2}$$ strictement croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$
$$n^{2} \ge 1$$
$$\frac{n^{2} }{1} \ge \frac{1}{1}$$
$$\frac{1}{n^{2} } \le \frac{1}{1}$$ $$\;\;$$ L'ordre n'est pas conservé car la fonction $$x\mapsto \frac{1}{x}$$ strictement décroissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$
$$\frac{1}{n^{2} } \le 1$$
$$7+\frac{2}{n^{2} } \le 7+2$$
$$7+\frac{2}{n^{2} } \le 9$$
$$\sqrt{7+\frac{2}{n^{2} } } \le \sqrt{9}$$ $$\;\;$$L'ordre est conservé car la fonction $$x\mapsto \sqrt{x}$$ strictement croissante sur $$\left[0;+\infty\right[$$
$$\sqrt{7+\frac{2}{n^{2} } } \le 3$$
$$u_{n} \le 3$$ $$\;\;$$La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est donc $$\blue{\text{majorée}}$$ par $$3$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, nous avons montré que $$0<u_n\le 3$$
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est bien $$\blue{\text{bornée}}$$.