Une suite (un) est dite borneˊe si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe, c'est à dire s'il existe deux réels m et M tels que pour tout entier naturel n , on ait : m≤un≤M D’une part :Il est évident que la suite
(un) est une suite géométrique de raison
q=32 et de premier terme
u0=5 .
Le premier terme étant positif et la raison également, alors la suite
(un) est strictement positive pour tout entier naturel
n . Ainsi :
un≥0 . La suite
(un) est donc
minoreˊe par
0 .
D’autre part :Maintenant, étudions le sens de variation de la suite
(un) .
Il est impératif de vérifier tout d'abord que
un>0 pour pouvoir utiliser cette méthode.
- Si unun+1≥1 alors la suite (un) est croissante.
- Si unun+1≤1 alors la suite (un) est décroissante.
- Si unun+1=1 alors la suite (un) est constante.
Pour tout entier naturel
n, nous savons que
un+1=32un et également que la suite
(un) est strictement positive.
Ainsi :
unun+1=32Soit
unun+1<1 . La suite
(un) est donc décroissante, elle est donc
majoreˊe par son premier terme
u0=5 .
Ce qui nous donne :
un≤5 . La suite
(un) est donc
majoreˊe par
5 .
Pour tout entier naturel
n, nous avons montré que
0<un≤5Il en résulte donc que la suite
(un) est bien
borneˊe.