Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 5

$$\purple{\text{Dans un premier temps :}}$$ montrons que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est $$\blue{\text{majorée.}}$$

Pour tout entier naturel $$n$$ non nul signifie que $$n\ge 1$$.
Ainsi :
$$n\ge 1$$ équivaut successivement à :
$$n\ge \frac{1}{1}$$
$$\frac{1}{n}$$ $$\red{\le}$$ $$\frac{1}{1}$$ . La fonction $$x \mapsto \frac{1}{x}$$ étant décroissante sur $$\left]0;+\infty \right[$$ l'ordre n'est pas conservé .
$$\frac{1}{n} \le 1$$
$$\frac{4}{n} \le 4$$
$$\frac{4}{n}+6 \le 4+6$$
$$\frac{4}{n}+6 \le 10$$
$$u_n \le 10$$ . La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est donc $$\blue{\text{majorée}}$$ par $$10$$

$$\purple{\text{Dans un second temps :}}$$ montrons que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est $$\blue{\text{minorée.}}$$

Pour tout $$n\ge 1$$ , on vérifie aisément que $$\frac{4}{n}+6>0$$ . Ainsi :
$$u_n > 0$$ . La suite $$\left(u_{n}\right)$$ est donc $$\blue{\text{minorée}}$$ par $$0$$ .
Pour tout entier naturel $$n$$ non nul, nous avons montré que $$0<u_n\le 10$$
Il en résulte donc que la suite $$\left(u_{n}\right)$$ est bien $$\blue{\text{bornée}}$$.