Suites et récurrence

Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 5

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn non nul par : un=4n+6u_{n} =\frac{4}{n} +6 .
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bornée.

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est dite borneˊe\blue{\text{bornée}} si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe\blue{\text{majorée et minorée}}, c'est à dire s'il existe deux réels mm et MM tels que pour tout entier naturel nn , on ait : munMm\le u_n \le M
  • Dans un premier temps :\purple{\text{Dans un premier temps :}} montrons que la suite (un)\left(u_{n}\right) est majoreˊe.\blue{\text{majorée.}}
  • Pour tout entier naturel nn non nul signifie que n1n\ge 1.
    Ainsi :
    n1n\ge 1 équivaut successivement à :
    n11n\ge \frac{1}{1}
    1n\frac{1}{n} \red{\le} 11\frac{1}{1} . La fonction x1xx \mapsto \frac{1}{x} étant décroissante sur ]0;+[\left]0;+\infty \right[ l'ordre n'est pas conservé .
    1n1\frac{1}{n} \le 1
    4n4\frac{4}{n} \le 4
    4n+64+6\frac{4}{n}+6 \le 4+6
    4n+610\frac{4}{n}+6 \le 10
    un10u_n \le 10 . La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc majoreˊe\blue{\text{majorée}} par 1010
  • Dans un second temps :\purple{\text{Dans un second temps :}} montrons que la suite (un)\left(u_{n}\right) est minoreˊe.\blue{\text{minorée.}}
  • Pour tout n1n\ge 1 , on vérifie aisément que 4n+6>0\frac{4}{n}+6>0 . Ainsi :
    un>0u_n > 0 . La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc minoreˊe\blue{\text{minorée}} par 00 .
    Pour tout entier naturel nn non nul, nous avons montré que 0<un100<u_n\le 10
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien borneˊe\blue{\text{bornée}}.