Une suite (un) est dite borneˊe si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe, c'est à dire s'il existe deux réels m et M tels que pour tout entier naturel n , on ait : m≤un≤M Dans un premier temps : montrons que la suite (un) est majoreˊe.Pour tout entier naturel
n non nul signifie que
n≥1.
Ainsi :
n≥1 équivaut successivement à :
n≥11 n1 ≤ 11 . La fonction
x↦x1 étant décroissante sur
]0;+∞[ l'ordre n'est pas conservé .
n1≤1 n4≤4n4+6≤4+6n4+6≤10un≤10 . La suite
(un) est donc
majoreˊe par
10Dans un second temps : montrons que la suite (un) est minoreˊe.Pour tout
n≥1 , on vérifie aisément que
n4+6>0 . Ainsi :
un>0 . La suite
(un) est donc
minoreˊe par
0 .
Pour tout entier naturel
n non nul, nous avons montré que
0<un≤10Il en résulte donc que la suite
(un) est bien
borneˊe.