Suites et récurrence

Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 4

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=2cos⁡(n)+8u_{n} =2\cos\left(n\right)+8 .
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bornée.

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est dite borneˊe\blue{\text{bornée}} si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe\blue{\text{majorée et minorée}}, c'est à dire s'il existe deux réels mm et MM tels que pour tout entier naturel nn , on ait : m≤un≤Mm\le u_n \le M
    • Pour tout entier naturel nn, on a :
    −1≤cos⁡(n)≤1-1\le \cos \left(n\right)\le 1
    2×(−1)≤2×cos⁡(n)≤2×12\times \left(-1\right)\le 2\times \cos \left(n\right)\le 2\times 1
    −2≤2cos⁡(n)≤2-2\le 2\cos \left(n\right)\le 2
    −2+8≤2cos⁡(n)+8≤2+8-2+8\le 2\cos \left(n\right)+8\le 2+8
    6≤2cos⁡(n)+8≤106\le 2\cos \left(n\right)+8\le 10
    Soit : 6≤un≤106\le u_{n} \le 10
    La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc minoreˊe\blue{\text{minorée}} par 66 et majoreˊe\blue{\text{majorée}} par 1010 .
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien borneˊe\blue{\text{bornée}}.
    Question 2
    Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=sin⁡(n)+3u_{n} =\sin\left(n\right)+3 .

    Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bornée.

    Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est dite borneˊe\blue{\text{bornée}} si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe\blue{\text{majorée et minorée}}, c'est à dire s'il existe deux réels mm et MM tels que pour tout entier naturel nn , on ait : m≤un≤Mm\le u_n \le M
    • Pour tout entier naturel nn, on a :
    −1≤sin⁡(n)≤1-1\le \sin \left(n\right)\le 1
    −1+3≤sin⁡(n)+3≤1+3-1+3\le \sin \left(n\right)+3\le 1+3
    2≤sin⁡(n)+3≤42\le \sin \left(n\right)+3\le 4
    Soit : 2≤un≤42\le u_{n} \le 4
    La suite (un)\left(u_{n}\right) est donc minoreˊe\blue{\text{minorée}} par 22 et majoreˊe\blue{\text{majorée}} par 44 .
    Il en résulte donc que la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien borneˊe\blue{\text{bornée}}.