Suites et récurrence

Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 3

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=n+32n+1u_{n} =\frac{n+3}{2n+1} .
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est majorée par 33 .

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est majoreˊe\blue{\text{majorée}} par un réel MM lorsque, pour tout entier naturel nn, on a : un≤Mu_{n}\le M .
  • Pour démontrer qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est majoreˊe\blue{\text{majorée}} par un réel MM , on étudie le signe de un−Mu_{n}-M .
    • Pour tout entier naturel nn, étudions le signe de : un−3u_{n}-3
    un−3=n+32n+1−3u_{n} -3=\frac{n+3}{2n+1} -3 équivaut successivement à :
    un−3=n+32n+1−3(2n+1)2n+1u_{n} -3=\frac{n+3}{2n+1} -\frac{3\left(2n+1\right)}{2n+1}
    un−3=n+3−3(2n+1)2n+1u_{n} -3=\frac{n+3-3\left(2n+1\right)}{2n+1}
    un−3=n+3−6n−32n+1u_{n} -3=\frac{n+3-6n-3}{2n+1}
    un−3=−5n2n+1u_{n} -3=\frac{-5n}{2n+1}
    Pour tout entier naturel nn, nous savons alors que n≥0n \ge 0 . On vérifie aisément alors que −5n≤0-5n\le 0 et que 2n+1>02n+1>0 .
    On peut alors conclure que −5n2n+1≤0\frac{-5n}{2n+1} \le0
    Ainsi : un−3≤0u_{n} -3\le 0 et donc
    un≤3u_{n}\le3
    .
    Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien majorée par 33 .