Suites et récurrence

Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 2

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=4n43n+1u_{n} =\frac{4n-4}{3n+1} .
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est minorée par 4-4 .

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est minoreˊe\red{\text{minorée}} par un réel mm lorsque, pour tout entier naturel nn, on a : unmu_{n}\ge m .
  • Pour démontrer qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est minoreˊe\red{\text{minorée}} par un réel mm , on étudie le signe de unmu_{n}-m .
  • Pour tout entier naturel nn, étudions le signe de : un(4)u_{n} -\left(-4\right)
    un(4)=4n43n+1(4)u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} -\left(-4\right) équivaut successivement à :
    un(4)=4n43n+1+4u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} +4
    un(4)=4n43n+1+4(3n+1)3n+1u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4}{3n+1} +\frac{4\left(3n+1\right)}{3n+1}
    un(4)=4n4+4(3n+1)3n+1u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4+4\left(3n+1\right)}{3n+1}
    un(4)=4n4+12n+43n+1u_{n} -\left(-4\right)=\frac{4n-4+12n+4}{3n+1}
    un(4)=16n3n+1u_{n} -\left(-4\right)=\frac{16n}{3n+1}
    Pour tout entier naturel nn, nous savons alors que n0n \ge 0 . On vérifie aisément alors que 16n016n\ge 0 et que 3n+1>03n+1>0 .
    On peut alors conclure que 16n3n+10\frac{16n}{3n+1} \ge0
    Ainsi : un(4)0u_{n} -\left(-4\right)\ge 0 et donc
    un(4)u_{n}\ge \left(-4\right)
    .
    Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien minorée par 4-4 .