Une suite (un) est minoreˊe par un réel m lorsque, pour tout entier naturel n, on a : un≥m .Pour démontrer qu'une suite (un) est minoreˊe par un réel m , on étudie le signe de un−m . Pour tout entier naturel
n, étudions le signe de :
un−(−4)un−(−4)=3n+14n−4−(−4) équivaut successivement à :
un−(−4)=3n+14n−4+4 un−(−4)=3n+14n−4+3n+14(3n+1) un−(−4)=3n+14n−4+4(3n+1) un−(−4)=3n+14n−4+12n+4 un−(−4)=3n+116n Pour tout entier naturel
n, nous savons alors que
n≥0 . On vérifie aisément alors que
16n≥0 et que
3n+1>0 .
On peut alors conclure que
3n+116n≥0Ainsi :
un−(−4)≥0 et donc
un≥(−4) .
Pour tout entier naturel
n, la suite
(un) est bien minorée par
−4 .