Montrer qu'une suite est minorée ou majorée ou bornée (sans utiliser la récurrence) - Exercice 1

5 min
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Soit (un)\left(u_{n}\right) la suite définie pour tout entier naturel nn par : un=6n+23n+5u_{n} =\frac{6n+2}{3n+5} .
Question 1

Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est majorée par 22 .

Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est majoreˊe\blue{\text{majorée}} par un réel MM lorsque, pour tout entier naturel nn, on a : un≤Mu_{n}\le M .
  • Pour démontrer qu'une suite (un)\left(u_{n}\right) est majoreˊe\blue{\text{majorée}} par un réel MM , on étudie le signe de un−Mu_{n}-M .
    • Pour tout entier naturel nn, étudions le signe de : un−2u_{n}-2
    un−2=6n+23n+5−2u_{n} -2=\frac{6n+2}{3n+5} -2 équivaut successivement à :
    un−2=6n+23n+5−2(3n+5)3n+5u_{n} -2=\frac{6n+2}{3n+5} -\frac{2\left(3n+5\right)}{3n+5}
    un−2=6n+2−2(3n+5)3n+5u_{n} -2=\frac{6n+2-2\left(3n+5\right)}{3n+5}
    un−2=6n+2−6n−103n+5u_{n} -2=\frac{6n+2-6n-10}{3n+5}
    un−2=−83n+5u_{n} -2=\frac{-8}{3n+5}
    Pour tout entier naturel nn, on a : 3n+5>03n+5>0 et −8<0-8<0
    Il en résulte donc que : −83n+5<0\frac{-8}{3n+5}<0
    Ainsi : un−2<0u_{n} -2<0 et donc
    un<2u_{n}<2
    .
    Pour tout entier naturel nn, la suite (un)\left(u_{n}\right) est bien majorée par 22 .
    Question 2

    La suite (un)\left(u_{n}\right) est-elle bornée ?

    Correction
  • Une suite (un)\left(u_{n}\right) est dite borneˊe\blue{\text{bornée}} si elle est à la fois majoreˊe et minoreˊe\blue{\text{majorée et minorée}}, c'est à dire s'il existe deux réels mm et MM tels que pour tout entier naturel nn , on ait : m≤un≤Mm\le u_n \le M
    • Pour tout entier naturel nn, nous savons que n≥0n \ge 0 .
    Il en résulte donc que : 6n+2>06n+2>0 et 3n+5>03n+5>0 et de ce fait 6n+23n+5>0\frac{6n+2}{3n+5}>0
    Autrement dit : un>0u_n>0 .
    D'après la question précédente, nous avons montré que : un<2u_{n}<2
    Finalement, pour tout entier naturel nn, il vient que : 0<un<20<u_{n}<2
    La suite (un)\left(u_{n}\right) est bien borneˊe\blue{\text{bornée}}.

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