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Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau facile\red{\text{niveau facile}} - Exercice 7

12 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=1u_{0} =1 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,75un−0,95u_{n+1} =0,75u_{n} -0,95
Soit vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,750,75.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8
vn+1=un+1+3,8v_{n+1} =u_{n+1} +3,8 . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,75un−0,95u_{n+1} =0,75u_{n} -0,95.
vn+1=0,75un−0,95+3,8v_{n+1} =0,75u_{n} -0,95+3,8
vn+1=0,75un+2,85v_{n+1} =0,75{\color{blue}{u_{n}}} +2,85.
Or vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8 donc vn−3,8=unv_{n} -3,8={\color{blue}{u_{n}}} . Ainsi :
vn+1=0,75×(vn−3,8)+2,85v_{n+1} =0,75\times {\color{blue}{\left(v_{n} -3,8\right)}}+2,85
vn+1=0,75vn−0,75×3,8+2,85v_{n+1} =0,75v_{n} -0,75\times 3,8+2,85
vn+1=0,75vn−2,85+2,85v_{n+1} =0,75v_{n} -2,85+2,85
vn+1=0,75vnv_{n+1} =0,75v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,75q=0,75 et de premier terme v0=u0+3,8=1+3,8v_{0} =u_{0} +3,8=1+3,8 donc v0=4,8v_{0} =4,8
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=4,8×0,75nv_{n} =4,8\times 0,75^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=4,8×0,75n−3,8u_{n} =4,8\times 0,75^{n} -3,8.

Correction
On sait que : vn=un+3,8v_{n} =u_{n} +3,8 donc vn−3,8=unv_{n} -3,8=u_{n}
Il vient alors que :
un=4,8×0,75n−3,8u_{n} =4,8\times 0,75^{n} -3,8
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,75<1-1< 0,75< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞4,8×(0,75)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞4,8×(0,75)n−3,8=−3,8\lim\limits_{n\to +\infty } 4,8\times \left(0,75\right)^{n} -3,8=-3,8
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=−3,8\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =-3,8

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