Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau facile}}$$ - Exercice 6

$$v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{5}{4}$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,6u_{n} +0,5$$.
$$v_{n+1} =0,6u_{n} +0,5-\frac{5}{4}$$
$$v_{n+1} =0,6{\color{blue}{u_{n}}} -0,75$$.
Or $$v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}$$ donc $$v_{n} +\frac{5}{4} ={\color{blue}{u_{n}}}$$ . Ainsi :
$$v_{n+1} =0,6\times {\color{blue}{\left(v_{n} +\frac{5}{4}\right)}}-0,75$$
$$v_{n+1} =0,6v_{n} +0,6\times \frac{5}{4}-0,75$$
$$v_{n+1} =0,6v_{n} +0,75-0,75$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,6$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -\frac{5}{4} =1-\frac{5}{4}$$ donc $$v_{0} =-\frac{1}{4}$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -\frac{5}{4}$$ donc $$v_{n} +\frac{5}{4} =u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1< 0,6< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,6\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{1}{4} \right)\times \left(0,6\right)^{n} +\frac{5}{4} =\frac{5}{4}$$
Ainsi :