Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau facile}}$$ - Exercice 5

$$v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{1}{2}$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,1u_{n} +0,45$$.
$$v_{n+1} =0,1u_{n} +0,45-\frac{1}{2}$$
$$v_{n+1} =0,1{\color{blue}{u_{n}}} -0,05$$.
Or $$v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}$$ donc $$v_{n} +\frac{1}{2} ={\color{blue}{u_{n}}}$$ . Ainsi :
$$v_{n+1} =0,1\times {\color{blue}{\left(v_{n} +\frac{1}{2}\right)}}-0,05$$
$$v_{n+1} =0,1v_{n} +0,1\times 0,5-0,05$$
$$v_{n+1} =0,1v_{n} +0,05-0,05$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,1$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} -\frac{1}{2} =-2-\frac{1}{2}$$ donc $$v_{0} =-\frac{5}{2}$$

Ainsi

On sait que : $$v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}$$ donc $$v_{n} +\frac{1}{2} =u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1< 0,1< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,1\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2} =\frac{1}{2}$$
Ainsi :