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Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau facile\red{\text{niveau facile}} - Exercice 5

12 min
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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=−2u_{0} =-2 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,1un+0,45u_{n+1} =0,1u_{n} +0,45
Soit vn=un−12v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,10,1.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un−12v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2}
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−12v_{n+1} =u_{n+1} -\frac{1}{2} . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,1un+0,45u_{n+1} =0,1u_{n} +0,45.
vn+1=0,1un+0,45−12v_{n+1} =0,1u_{n} +0,45-\frac{1}{2}
vn+1=0,1un−0,05v_{n+1} =0,1{\color{blue}{u_{n}}} -0,05.
Or vn=un−12v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2} donc vn+12=unv_{n} +\frac{1}{2} ={\color{blue}{u_{n}}} . Ainsi :
vn+1=0,1×(vn+12)−0,05v_{n+1} =0,1\times {\color{blue}{\left(v_{n} +\frac{1}{2}\right)}}-0,05
vn+1=0,1vn+0,1×0,5−0,05v_{n+1} =0,1v_{n} +0,1\times 0,5-0,05
vn+1=0,1vn+0,05−0,05v_{n+1} =0,1v_{n} +0,05-0,05
vn+1=0,1vnv_{n+1} =0,1v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,1q=0,1 et de premier terme v0=u0−12=−2−12v_{0} =u_{0} -\frac{1}{2} =-2-\frac{1}{2} donc v0=−52v_{0} =-\frac{5}{2}
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi
vn=(−52)×(0,1)nv_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(−52)×(0,1)n+12u_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2} .

Correction
On sait que : vn=un−12v_{n} =u_{n} -\frac{1}{2} donc vn+12=unv_{n} +\frac{1}{2} =u_{n}
Il vient alors que :
un=(−52)×(0,1)n+12u_{n} =\left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2}
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,1<1-1< 0,1< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,1)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,1\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−52)×(0,1)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−52)×(0,1)n+12=12\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-\frac{5}{2} \right)\times \left(0,1\right)^{n} +\frac{1}{2} =\frac{1}{2}
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=12\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =\frac{1}{2}

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