Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau facile}}$$ - Exercice 4

$$v_{n} =u_{n} +4$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +4$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,9u_{n} -0,4$$.
$$v_{n+1} =0,9u_{n} -0,4+4$$
$$v_{n+1} =0,9{\color{blue}{u_{n}}} +3,6$$.
Or $$v_{n} =u_{n} +4$$ donc $$v_{n} -4={\color{blue}{u_{n}}}$$
$$v_{n+1} =0,9\times {\color{blue}{\left(v_{n} -4\right)}}+3,6$$
$$v_{n+1} =0,9v_{n} -0,9\times 4+3,6$$
$$v_{n+1} =0,9v_{n} -3,6+3,6$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,9$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} +4=3+4$$ donc $$v_{0} =7$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} +4$$ donc $$v_{n} -4=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1< 0,9< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(7\right)\times \left(0,9\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(7\right)\times \left(0,9\right)^{n} -4=-4$$
Ainsi :