Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau facile}}$$ - Exercice 3

$$v_{n} =u_{n} +10$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +10$$ . On remplace l'expression de $$u_{n+1}$$ par $$u_{n+1} =0,75u_{n} -2,5$$.
$$v_{n+1} =0,75u_{n} -2,5+10$$
$$v_{n+1} =0,75{\color{blue}{u_{n}}} +7,5$$.
Or $$v_{n} =u_{n} +10$$ donc $${\color{blue}{v_{n} -10=u_{n}}}$$ . Ainsi :
$$v_{n+1} =0,75\times {\color{blue}{\left(v_{n} -10\right)}}+7,5$$
$$v_{n+1} =0,75v_{n} -0,75\times 10+7,5$$
$$v_{n+1} =0,75v_{n} -7,5+7,5$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,75$$ et de premier terme $$v_{0} =u_{0} +10=4+10$$ donc $$v_{0} =14$$

Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} +10$$ donc $$v_{n} -10=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$-1< 0,75< 1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(14\right)\times \left(0,75\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(14\right)\times \left(0,75\right)^{n} -10=-10$$
Ainsi :