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Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau facile\red{\text{niveau facile}} - Exercice 2

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Soit (un)\left(u_{n} \right) la suite définie par u0=5u_{0} =5 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,5un+3u_{n+1} =0,5u_{n} +3
Soit vn=un−6v_{n} =u_{n} -6
Question 1

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison 0,50,5.
Préciser v0v_{0} .

Correction
vn=un−6v_{n} =u_{n} -6
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−6v_{n+1} =u_{n+1} -6 . On remplace l'expression de un+1u_{n+1} par un+1=0,5un+3u_{n+1} =0,5u_{n} +3.
vn+1=0,5un+3−6v_{n+1} =0,5u_{n} +3-6
vn+1=0,5un−3v_{n+1} =0,5{\color{blue}{u_{n}}} -3.
Or vn=un−6v_{n} =u_{n} -6 donc vn+6=un{\color{blue}{v_{n} +6=u_{n}}}
vn+1=0,5×(vn+6)−3v_{n+1} =0,5\times {\color{blue}{\left(v_{n} +6\right)}}-3
vn+1=0,5vn+0,5×6−3v_{n+1} =0,5v_{n} +0,5\times 6-3
vn+1=0,5vn+3−3v_{n+1} =0,5v_{n} +3-3
vn+1=0,5vnv_{n+1} =0,5v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,5q=0,5 et de premier terme v0=u0−6=5−6v_{0} =u_{0} -6=5-6 donc v0=−1v_{0} =-1
Question 2

Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=(−1)×0,5nv_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n}
Question 3

En déduire que pour tout entier naturel nn, un=(−1)×0,5n+6u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6.

Correction
On sait que : vn=un−6v_{n} =u_{n} -6 donc vn+6=unv_{n} +6=u_{n}
Il vient alors que :
un=(−1)×0,5n+6u_{n} =\left(-1\right)\times 0,5^{n} +6
Question 4

Calculer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right).

Correction
  • Si −1<q<1-1<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme −1<0,5<1-1< 0,5< 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,5)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,5\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−1)×(0,5)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞(−1)×(0,5)n+6=6\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-1\right)\times \left(0,5\right)^{n} +6=6
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=6\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =6

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