Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau difficile}}$$ - Exercice 5

Pour tout entier naturel $$n$$ , on a :
$$v_{n} =u_{n+1} -u_{n}$$
$$v_{n+1} =u_{n+2} -u_{n+1}$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} +\frac{1}{2^{n+1} } -u_{n+1}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2^{n+1} }$$
$$v_{n+1} ={\color{blue}{\frac{1}{2^{n} }}} \times \frac{1}{2}$$
Or $$u_{n+1} =u_{n} +\frac{1}{2^{n} }$$ donc $${\color{blue}{u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{2^{n} }}}$$
Ainsi :
$$v_{n+1} ={\color{blue}{\left(u_{n+1} -u_{n} \right)}}\times \frac{1}{2}$$
Or : $$v_{n} =u_{n+1} -u_{n}$$ , ce qui nous donne :

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=\frac{1}{2}$$ et de premier terme $$v_{0} = u_{1}-u_{0}$$ donc $$v_{0} =1$$.