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Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $\red{\text{niveau difficile}}$ - Exercice 5

6 min

Question 1

Soit

\left(u_{n} \right)

\left(v_{n} \right)

les suites définies par

u_{0} =0

u_{1} =1

et pour tout entier naturel

n

, on a

u_{n+1} =u_{n}+\frac{1}{2^{n}}

.
Soit

v_{n} = u_{n+1}-u_{n}

Démontrer que la suite $\left(v_{n} \right)$ est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Pour tout entier naturel

n

, on a :

v_{n} =u_{n+1} -u_{n}

v_{n+1} =u_{n+2} -u_{n+1}

v_{n+1} =u_{n+1} +\frac{1}{2^{n+1} } -u_{n+1}

v_{n+1} =\frac{1}{2^{n+1} }

v_{n+1} ={\color{blue}{\frac{1}{2^{n} }}} \times \frac{1}{2}

u_{n+1} =u_{n} +\frac{1}{2^{n} }

donc

{\color{blue}{u_{n+1} -u_{n} =\frac{1}{2^{n} }}}

Ainsi :

v_{n+1} ={\color{blue}{\left(u_{n+1} -u_{n} \right)}}\times \frac{1}{2}

Or : $v_{n} =u_{n+1} -u_{n}$ , ce qui nous donne :

v_{n+1} =\frac{1}{2} v_{n}^{}

Ainsi la suite

\left(v_{n} \right)

est géométrique de raison

q=\frac{1}{2}

et de premier terme

v_{0} = u_{1}-u_{0}

donc

v_{0} =1

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