Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $\red{\text{niveau difficile}}$ - Exercice 4

5 min

Question 1

Soit

\left(u_{n} \right)

\left(v_{n} \right)

les suites définies par

u_{0} =-1

u_{1} =\frac{1}{2}

et pour tout entier naturel

n

, on a

u_{n+2} =u_{n+1}-\frac{1}{4}u_{n}

.
Soit

v_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}

Démontrer que la suite $\left(v_{n} \right)$ est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Pour tout entier naturel

n

, on a :

v_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}

. Il vient alors que :

v_{n+1} =\red{u_{n+2}} -\frac{1}{2} u_{n+1}

v_{n+1} =\red{u_{n+1} -\frac{1}{4} u_{n}} -\frac{1}{2} u_{n+1}

v_{n+1} =\frac{1}{2} u_{n+1} -\frac{1}{4} u_{n}

. on factorise l'expression par

\frac{1}{2}

, on obtient donc :

v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(u_{n+1} -\frac{1}{2} u_{n} \right)

Or : $v_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}$ , ce qui nous donne :

v_{n+1} =\frac{1}{2} v_{n}

Ainsi la suite

\left(v_{n} \right)

est géométrique de raison

q=\frac{1}{2}

et de premier terme

v_{0} = u_{1}-\frac{1}{2}u_{0}

donc

v_{0} =1

Signaler une erreur

Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.