Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : $$\red{\text{niveau difficile}}$$ - Exercice 4

Pour tout entier naturel $$n$$ , on a :
$$v_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}$$ . Il vient alors que :
$$v_{n+1} =\red{u_{n+2}} -\frac{1}{2} u_{n+1}$$
$$v_{n+1} =\red{u_{n+1} -\frac{1}{4} u_{n}} -\frac{1}{2} u_{n+1}$$
$$v_{n+1} =\frac{1}{2} u_{n+1} -\frac{1}{4} u_{n}$$ . on factorise l'expression par $$\frac{1}{2}$$, on obtient donc :
$$v_{n+1} =\frac{1}{2} \left(u_{n+1} -\frac{1}{2} u_{n} \right)$$
Or : $$v_{n} = u_{n+1}-\frac{1}{2}u_{n}$$ , ce qui nous donne :

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=\frac{1}{2}$$ et de premier terme $$v_{0} = u_{1}-\frac{1}{2}u_{0}$$ donc $$v_{0} =1$$.