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Montrer qu'une suite est arithmético-géométrique : niveau difficile\red{\text{niveau difficile}} - Exercice 3

5 min
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Question 1
Soient (un)\left(u_{n} \right) et (vn)\left(v_{n} \right) les suites définies par u0=2u_{0} =2 , v0=3v_{0} =3 et pour tout entier naturel nn, on a un+1=3un+2vn5u_{n+1} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} et vn+1=2un+3vn5v_{n+1} =\frac{2u_{n} +3v_{n} }{5} .
Soit wn=vn−unw_{n} = v_{n}-u_{n}.

Démontrer que la suite (wn)\left(w_{n} \right) est géométrique . On précisera la raison et le premier terme.

Correction

Pour tout entier naturel nn , on a :
wn=vn−unw_{n} = v_{n}-u_{n} équivaut successivement à :
un+1=3un+2vn5u_{n+1} =\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5}
vn+1=2un+3vn5v_{n+1} =\frac{2u_{n} +3v_{n} }{5}
wn+1=2un+3vn5−(3un+2vn5)w_{n+1} =\frac{2u_{n} +3v_{n} }{5} -\left(\frac{3u_{n} +2v_{n} }{5} \right)
wn+1=2un+3vn−3un−2vn5w_{n+1} =\frac{2u_{n} +3v_{n} -3u_{n} -2v_{n} }{5}
wn+1=−un+vn5w_{n+1} =\frac{-u_{n} +v_{n} }{5}
wn+1=15(vn−un)w_{n+1} =\frac{1}{5} \left(v_{n} -u_{n} \right)
wn+1=15wnw_{n+1} =\frac{1}{5} w_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=15q=\frac{1}{5} et de premier terme w0=v0−u0=3−2w_{0} =v_{0}-u_{0}=3-2 donc w0=1w_{0} =1.

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